Выражения, формулы, уравнения (15 ч). Записи с меткой "математика-повторение уравнения"

💖 Нравится? Поделись с друзьями ссылкой

Применение букв для записи математических выражений и предложений. Буквенные выражения и числовые подстановки. Формулы. Формулы периметра треугольника, периметра и площади прямоугольника, объема параллелепипеда. Формулы длины окружности и площади круга.

Уравнение. Корень уравнения. Составление уравнения по условию текстовой задачи.

Основные цели - сформировать первоначальные представления о языке математики, описать с помощью формул некоторые известные учащимся зависимости, познакомить с формулами длины окружности и площади круга.

Обсуждать особенности математического языка. Записывать математические выражения с учётом правил синтаксиса математического языка, составлять выражения по условиям задач с буквенными данными. Использовать буквы для записи математических предложений, общих утверждений, осуществлять перевод с математического языка на естественный язык и наоборот.

Строить речевые конструкции с использованием новой терминологии. Вычислять числовые значения буквенных выражений при данных значениях букв. Сравнивать числовые значения буквенных выражений. Находить допустимые значения букв в выражении. Отвечать на вопросы задач с буквенными данными, составляя соответствующие выражения

Составлять формулы, выражающие зависимости между величинами. Вычислять по формулам. Выражать из формулы одну величину через другие

Вычислять по формулам длины окружности, площади круга, объема шара. Вычислять размеры фигур, ограниченных окружностями и их дугами. Определять числовые параметры пространственных тел, имеющих форму. Проверять, является ли указанное число корнем рассматриваемого уравнения. Использовать буквы для записи математических предложений. Вычислятьчисловые значения буквенных выражений при данных значениях букв. Составлять уравнения по условиям задач.

Округлятьрезультаты вычислений по формулам

Получит возможность:

Иллюстрировать общие утверждения, записанные в буквенном виде, числовыми примерами.

Находить экспериментальным путем отношение длины окружности к диаметру

Строить речевые конструкции с использованием слов «уравнение», «корень уравнения». Составлять математические модели по условиям текстовых задачРешать уравнения на основе зависимостей между компонентами действий

Симметрия (8 ч)

Осевая симметрия. Ось симметрии фигуры. Центральная симметрия. Построение фигуры, симметричной данной относительно прямой и относительно точки. Симметрия в окружающем мире.



Основные цели - познакомить учащихся с основными видами симметрии на плоскости; научить строить фигуру, симметричную данной фигуре относительно прямой, а также точку, симметричную данной относительно точки; дать представление о симметрии в окружающем мире.

Окончив изучение темы, обучающийся будет иметь уметь:

Распознавать плоские фигуры, симметричные относительно прямой. Вырезать две фигуры, симметричные относительно прямой, из бумаги. Строить фигуру, симметричную данной относительно прямой, с помощью инструментов, изображать от руки.

Формулировать свойства равнобедренного, равностороннего треугольников, прямоугольника, квадрата, круга, связанные с осевой симметрией.

Распознавать плоские фигуры, симметричные относительно точки. Строить фигуру, симметричную данной относительно точки, с помощью инструментов, достраивать, изображать от руки. Находить центр симметрии фигуры, конфигурации. Формулировать свойства фигур, симметричных относительно точки.

Получит возможность:

Проводитьпрямую, относительно которой две фигуры симметричны. Формулировать свойства двух фигур, симметричных относительно прямой.

Исследоватьсвойства фигур, имеющих ось и центр симметрии, используя эксперимент, наблюдение, моделирование

Целые числа (13 ч)

Числа, противоположные натуральным. "Ряд" целых чисел. Изображение целых чисел точками на координатной прямой. Сравнение целых чисел. Сложение и вычитание целых чисел; выполнимость операции вычитания. Умножение и деление целых чисел; правила знаков.

Основные цели - мотивировать введение отрицательных чисел; сформировать умение сравнивать целые числа с опорой на координатную прямую, а также выполнять действия с целыми числами.

Окончив изучение темы, обучающийся будет иметь уметь:



Приводить примеры использования в жизни положительных и отрицательных чисел.

Объяснять, какие целые числа называются положительными.

Записывать число, противоположное данному, с помощью знака «минус».

Изображать целые числа точками на координатной прямой. Использоватькоординатную прямую как наглядную опору при решении задач на сравнение целых чисел

Записыватьс помощью букв свойство нуля при сложении, свойство суммы противоположных чисел. Упрощать запись суммы целых чисел, опуская, где возможно, знак «+» и скобки. Переставлять слагаемые в сумме целых чисел. Вычислять суммы целых чисел, содержащие два и более слагаемых. Вычислятьзначения буквенных выражений

Формулировать правило нахождения разности целых чисел, записывать его на математическом языке.

Формулировать правила знаков при умножении и делении целых чисел, иллюстрировать их примерами. Записывать на математическом языке равенства, выражающее свойство 0 и 1при умножении, правило умножения на -1. вычислять произведения и частные целых чисел. Вычислять значения числовых выражений, содержащих разные действия с целыми числами. Вычислятьзначения буквенных выражений при заданных целых значениях букв.

Получит возможность:

Описывать множество целых чисел.

Сопоставлять свойства ряда натуральных чисел и ряда целых чисел. Сравнивать и упорядочивать целые числа.

Вычислять разность двух целых чисел.

Вычислять значения числовых выражений, составленных из целых чисел с помощью знаков «+» и «-», осуществлять самоконтроль. Вычислять значения буквенных выражений при заданных целых значениях букв.

Исследовать вопрос об изменении знака произведения целых чисел при изменении на противоположные знаков множителей

Рациональные числа (17 ч)

Отрицательные дробные числа. Понятие рационального числа. Изображение чисел точками на координатной прямой. Противоположные числа. Модуль числа, геометрическая интерпретация модуля. Сравнение рациональных чисел. Арифметические действия с рациональными числами, свойства арифметических действий.

Примеры использования координат в реальной практике. Прямоугольная система координат на плоскости. Координаты точки на плоскости, абсцисса и ордината. Построение точек и фигур на координатной плоскости.

Основные цели - выработать навыки действий с положительными и отрицательными числами; сформировать представление о декартовой системе координат на плоскости.

Окончив изучение темы, обучающийся будет иметь уметь:

Применять в речи терминологию, связанную с рациональными числами, Распознавать натуральные, целые, дробные, положительные, отрицательные числа, характеризовать множество рациональных чисел. Применять символьное обозначение противоположного числа, объяснять смысл записей типа(-а) , упрощать соответствующие записи. Изображать рациональные числа точками на координатной прямой

Сравнивать положительное число и нуль, отрицательное число и нуль, положительное и отрицательное числа, два отрицательных числа.

Формулировать правила сложения двух чисел одного знака, двух чисел разных знаков, правило вычитания из одного числа другого, применять эти правила для вычисления сумм, разностей. Формулироватьправила нахождения произведения и частного двух чисел одного знака, двух чисел разных знаков, применять эти правила при умножении и делении рациональных чисел. Находить квадраты и кубы рациональных чисел. Вычислять значения числовых выражений, содержащих разные действия.

Приводить примеры различных систем координат в окружающем мире. Строить на координатной плоскости точки и фигуры по заданным координатам, находить координаты точек

Получит возможность:

Моделироватьс помощью координатной прямой отношения «больше» и «меньше» для рациональных чисел.

Применятьи понимать геометрический смысл понятия модуля числа, находить модуль рационального числа.

Выполнять числовые подстановки в суммы и разности, записанные с помощью букв, находить соответствующие их значения.

Проводить исследования, связанные с взаимным расположением точек на координатной плоскости

11 .Многоугольники и многогранники (9 ч)

Сумма углов треугольника. Параллелограмм и его свойства, построение параллелограмма. Правильные многоугольники. Площади, равновеликие и равносоставленные фигуры. Призма.

Основные цели - развить знания о многоугольниках; развить представление о площадях, познакомить со свойством аддитивности площади, с идеей перекраивания фигуры с целью определения ее площади; сформировать представление о призме; обобщить приобретенные геометрические знания и умения и научить применять их при изучении новых фигур и их свойств.

Окончив изучение темы, обучающийся будет иметь уметь:

Распознавать на чертежах, рисунках, в окружающем мире параллелограммы. Изображать параллелограммы с использованием чертежных инструментов. Моделировать параллелограммы, используя бумагу, пластилин, проволоку и др.Сравнивать свойства параллелограммов различных видов.

Распознавать на чертежах, рисунках, в окружающем мире правильные многоугольники, правильные многогранники. Изображать правильные многоугольники с помощью чертёжных инструментов по описанию, и по заданному алгоритму

Изображатьравносоставленные фигуры, определять их площади. Моделировать геометрические фигуры из бумаги. Сравнивать фигуры по площади. Формулировать свойства равносоставленных фигур. Составлятьформулы для вычисления площади параллелограмма, прямоугольного треугольника. Распознаватьна чертежах, рисунках, в окружающем мире призмы. Определять взаимное расположение граней, рёбер, вершин призмы.

Получит возможность:

Исследоватьи описывать свойства параллелограмма, используя эксперимент, наблюдение, моделирование.

Исследовать и описывать свойства правильных многоугольников, используя эксперимент, наблюдение, моделирование.

Выполнятьизмерения и вычислять площади параллелограммов и треугольников Моделировать призмы, используя бумагу, пластилин, проволоку и др., изготавливать из развёрток

  • Равенство с переменной называют уравнением.
  • Решить уравнение – значит найти множество его корней. Уравнение может иметь один, два, несколько, множество корней или не иметь их вовсе.
  • Каждое значение переменной, при котором данное уравнение превращается в верное равенство, называется корнем уравнения.
  • Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными уравнениями.
  • Любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.
  • Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Примеры. Решить уравнение.

1. 1,5х+4 = 0,3х-2.

1,5х-0,3х = -2-4. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство:

1,2х = -6. Привели подобные слагаемые по правилу:

х = -6 : 1,2. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как

х = -5. Делили по правилу деления десятичной дроби на десятичную дробь:

чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно перенести запятые в делимом и делителе на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число:

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

Ответ: 5.

2. 3(2х-9) = 4(х-4).

6х-27 = 4х-16. Раскрыли скобки, используя распределительный закон умножения относительно вычитания: (a-b) c = a c-b c.

6х-4х = -16+27. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.

2х = 11. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).

х = 11 : 2. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Ответ: 5,5.

3. 7х- (3+2х)=х-9.

7х-3-2х = х-9. Раскрыли скобки по правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-»: если перед скобками стоит знак «-», то убираем скобки, знак «-» и записываем слагаемые, стоявшие в скобках, с противоположными знаками.

7х-2х-х = -9+3. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.

4х = -6. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).

х = -6 : 4. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Ответ: -1,5.

3 (х-5) = 7 12 — 4 (2х-11). Умножили обе части равенства на 12 – наименьший общий знаменатель для знаменателей данных дробей.

3х-15 = 84-8х+44. Раскрыли скобки, используя распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно отдельно уменьшаемое и отдельно вычитаемое умножить на третье число, а затем из первого результата вычесть второй результат, т.е. (a-b) c = a c-b c.

3х+8х = 84+44+15. Собрали слагаемые, содержащие переменную, в левой части равенства, а свободные члены – в правой части равенства. При этом применяли свойство: любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства в другую, изменив при этом знак слагаемого на противоположный.

11х = 143. Привели подобные слагаемые по правилу: чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общую буквенную часть (т.е. к полученному результату приписать их общую буквенную часть).

х = 143 : 11. Обе части равенства разделили на коэффициент при переменной, так как если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Ответ: 13.

5. Решить самостоятельно уравнения:

а) 3-2,6х = 5х+1,48;

б) 1,6 · (х+5) = 4 · (4,5-0,6х);

в) 9х- (6х+2,5) = — (х-5,5);


5а) 0,2; 5б) 2,5; 5в) 2; 5г) -1.

Страница 1 из 1 1

Начальный уровень

Преобразование выражений. Подробная теория (2019)

Преобразование выражений

Часто мы слышим эту неприятную фразу: «упростите выражение». Обычно при этом перед нами какое-то страшилище типа этого:

«Да куда уж проще» - говорим мы, но такой ответ обычно не прокатывает.

Сейчас я научу тебя не бояться никаких подобных задач. Более того, в конце занятия ты сам упростишь этот пример до (всего лишь!) обычного числа (да-да, к черту эти буквы).

Но прежде чем приступить к этому занятию, тебе необходимо уметь обращаться с дробями и раскладывать многочлены на множители. Поэтому сперва, если ты этого не сделал раньше, обязательно освой темы « » и « ».

Прочитал? Если да, то теперь ты готов.

Базовые операции упрощения

Сейчас разберем основные приемы, которые используются при упрощении выражений.

Самый простой из них - это

1. Приведение подобных

Что такое подобные? Ты проходил это в 7 классе, как только впервые в математике появились буквы вместо чисел. Подобные - это слагаемые (одночлены) с одинаковой буквенной частью. Например, в сумме подобные слагаемые - это и.

Вспомнил?

Привести подобные - значит сложить несколько подобных слагаемых друг с другом и получить одно слагаемое.

А как же нам сложить друг с другом буквы? - спросишь ты.

Это очень легко понять, если представить, что буквы - это какие-то предметы. Например, буква - это стул. Тогда чему равно выражение? Два стула плюс три стула, сколько будет? Правильно, стульев: .

А теперь попробуй такое выражение: .

Чтобы не запутаться, пусть разные буквы обозначают разны предметы. Например, - это (как обычно) стул, а - это стол. Тогда:

стула стола стул столов стульев стульев столов

Числа, на которые умножаются буквы в таких слагаемых называются коэффициентами . Например, в одночлене коэффициент равен. А в он равен.

Итак, правило приведения подобных:

Примеры:

Приведите подобные:

Ответы:

2. (и подобны, так как, следовательно у этих слагаемых одинаковая буквенная часть).

2. Разложение на множители

Это обычно самая важная часть в упрощении выражений. После того как ты привел подобные, чаще всего полученное выражение нужно разложить на множители, то есть представить в виде произведения. Особенно это важно в дробях: ведь чтобы можно было сократить дробь, числитель и знаменатель должны быть представлены в виде произведения.

Подробно способы разложения выражений на множители ты проходил в теме « », поэтому здесь тебе остается только вспомнить выученное. Для этого реши несколько примеров (нужно разложить на множители):

Решения:

3. Сокращение дроби.

Ну что может быть приятнее, чем зачеркнуть часть числителя и знаменателя, и выбросить их из своей жизни?

В этом вся прелесть сокращения.

Все просто:

Если числитель и знаменатель содержат одинаковые множители, их можно сократить, то есть убрать из дроби.

Это правило вытекает из основного свойства дроби:

То есть суть операции сокращения в том, что числитель и знаменатель дроби делим на одно и то же число (или на одно и то же выражение).

Чтобы сократить дробь, нужно:

1) числитель и знаменатель разложить на множители

2) если в числителе и знаменателе есть общие множители , их можно вычеркнуть.

Принцип, я думаю, понятен?

Хочу обратить внимание на одну типичную ошибку при сокращении. Хоть эта тема и простая, но очень многие делают все неправильно, не понимая, что сократить - это значит поделить числитель и знаменатель на одно и то же число.

Никаких сокращений, если в числителе или знаменателе сумма.

Например: надо упростить.

Некоторые делают так: , что абсолютно неверно.

Еще пример: сократить.

«Самые умные» сделают так: .

Скажи мне, что здесь неверно? Казалось бы: - это множитель, значит можно сокращать.

Но нет: - это множитель только одного слагаемого в числителе, но сам числитель в целом на множители не разложен.

Вот другой пример: .

Это выражение разложено на множители, значит, можно сократить, то есть поделить числитель и знаменатель на, а потом и на:

Можно и сразу поделить на:

Чтобы не допускать подобных ошибок, запомни легкий способ, как определить, разложено ли выражение на множители:

Арифметическое действие, которое выполняется последним при подсчете значения выражения, является «главным». То есть, если ты подставишь вместо букв какие-нибудь (любые) числа, и попытаешься вычислить значение выражения, то если последним действием будет умножение - значит, у нас произведение (выражение разложено на множители). Если последним действием будет сложение или вычитание, это значит, что выражение не разложено на множители (а значит, сокращать нельзя).

Для закрепления реши самостоятельно несколько примеров :

Ответы:

1. Надеюсь, ты не бросился сразу же сокращать и? Еще не хватало «сократить» единицы типа такого:

Первым действием должно быть разложение на множители:

4. Сложение и вычитание дробей. Приведение дробей к общему знаменателю.

Сложение и вычитание обычных дробей - операция хорошо знакомая: ищем общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители. Давай вспомним:

Ответы:

1. Знаменатели и - взаимно простые, то есть у них нет общих множителей. Следовательно, НОК этих чисел равен их произведению. Это и будет общий знаменатель:

2. Здесь общий знаменатель равен:

3. Здесь первым делом смешанные дроби превращаем в неправильные, а дальше - по привычной схеме:

Совсем другое дело, если дроби содержат буквы, например:

Начнем с простого:

a) Знаменатели не содержат букв

Здесь все то же, что и с обычными числовыми дробями: находим общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители:

теперь в числителе можно приводить подобные, если есть, и раскладывать на множители:

Попробуй сам:

b) Знаменатели содержат буквы

Давай вспомним принцип нахождения общего знаменателя без букв:

· в первую очередь мы определяем общие множители;

· затем выписываем все общие множители по одному разу;

· и домножаем их на все остальные множители, не общие.

Чтобы определить общие множители знаменателей, сперва разложим их на простые множители:

Подчеркнем общие множители:

Теперь выпишем общие множители по одному разу и допишем к ним все необщие (не подчеркнутые) множители:

Это и есть общий знаменатель.

Вернемся к буквам. Знаменатели приводятся по точно такой же схеме:

· раскладываем знаменатели на множители;

· определяем общие (одинаковые) множители;

· выписываем все общие множители по одному разу;

· домножаем их на все остальные множители, не общие.

Итак, по порядку:

1) раскладываем знаменатели на множители:

2) определяем общие (одинаковые) множители:

3) выписываем все общие множители по одному разу и домножаем их на все остальные (неподчеркнутые) множители:

Значит, общий знаменатель здесь. Первую дробь нужно домножить на, вторую - на:

Кстати, есть одна хитрость:

Например: .

Видим в знаменателях одни и те же множители, только все с разными показателями. В общий знаменатель пойдут:

в степени

в степени

в степени

в степени.

Усложним задание:

Как сделать у дробей одинаковый знаменатель?

Давай вспомним основное свойство дроби:

Нигде не сказано, что из числителя и знаменателя дроби можно вычитать (или прибавлять) одно и то же число. Потому что это неверно!

Убедись сам: возьми любую дробь, например, и прибавь к числителю и знаменателю какое-нибудь число, например, . Что поучилось?

Итак, очередное незыблемое правило:

Когда приводишь дроби к общему знаменателю, пользуйся только операцией умножения!

Но на что же надо домножить, чтобы получить?

Вот на и домножай. А домножай на:

Выражения, которые невозможно разложить на множители будем называть «элементарными множителями». Например, - это элементарный множитель. - тоже. А вот - нет: он раскладывается на множители.

Что скажешь насчет выражения? Оно элементарное?

Нет, поскольку его можно разложить на множители:

(о разложении на множители ты уже читал в теме « »).

Так вот, элементарные множители, на которые ты раскладываешь выражение с буквами - это аналог простых множителей, на которые ты раскладываешь числа. И поступать с ними будем таким же образом.

Видим, что в обоих знаменателях есть множитель. Он пойдет в общий знаменатель в степени (помнишь, почему?).

Множитель - элементарный, и он у них не общий, значит первую дробь на него придется просто домножить:

Еще пример:

Решение:

Предже, чем в панике перемножать эти знаменатели, надо подумать, как их разложить на множители? Оба они представляют :

Отлично! Тогда:

Еще пример:

Решение:

Как обычно, разложим знаменатели на множители. В первом знаменателе просто выносим за скобки; во втором - разность квадратов:

Казалось бы, общих множителей нет. Но если присмотреться, то и так похожи… И правда:

Так и напишем:

То есть получилось так: внутри скобки мы поменяли местами слагаемые, и при этом знак перед дробью поменялся на противоположный. Возьми на заметку, так поступать придется часто.

Теперь приводим к общему знаменателю:

Усвоил? Сейчас проверим.

Задачи для самостоятельного решения:

Ответы:

Тут надо вспомнить еще одну - разность кубов:

Обрати внимание, что в знаменателе второй дроби не формула «квадрат суммы»! Квадрат суммы выглядел бы так: .

А - это так называемый неполный квадрат суммы: второе слагаемое в нем - это произведение первого и последнего, а не удвоенное их произведение. Неполный квадрат суммы - это один из множителей в разложени разности кубов:

Что делать, если дробей аж три штуки?

Да то же самое! В первую очередь сделаем так, чтобы максимальное количество множителей в знаменателях было одинаковым:

Обрати внимание: если поменять знаки внутри одной скобки, знак перед дробью меняется на противоположный. Когда меняем знаки во второй скобке, знак перед дробью снова меняется на противоположный. В результате он (знак перед дробью) не изменился.

В общий знаменатель выписавыем полностью первый знаменатель, а потом дописываем к нему все множители, которые еще не написаны, из второго, а потом из третьего (и так далее, если дробей больше). То есть получается вот так:

Хм… С дробями-то понятно что делать. Но вот как быть с двойкой?

Все просто: ты ведь умеешь складывать дроби? Значит, надо сделать так, чтобы двойка стала дробью! Вспоминаем: дробь - это операция деления (числитель делится на знаменатель, если ты вдруг забыл). И нет ничего проще, чем разделить число на. При этом само число не изменится, но превратится в дробь:

То, что нужно!

5. Умножение и деление дробей.

Ну что же, самое сложное теперь позади. А впереди у нас самое простое, но при этом самое важное:

Порядок действий

Какой порядок действий при подсчете числового выражения? Вспомни, посчитав значение такого выражения:

Посчитал?

Должно получиться.

Итак, напоминаю.

Первым делом вычисляется степень.

Вторым - умножение и деление. Если умножений и делений одновременно несколько, делать их можно в любом порядке.

И напоследок выполняем сложение и вычитание. Опять же, в любом порядке.

Но: выражение в скобках вычисляется вне очереди!

Если несколько скобок умножаются или делятся друг на друга, вычисляем сначала выражение в каждой из скобок, а потом умножаем или дели их.

А если внутри скобок есть еще одни скобки? Ну давай подумаем: внутри скобок написано какое-то выражение. А при вычислении выражения в первую очередь надо делать что? Правильно, вычислять скобки. Ну вот и разобрались: сначала вычисляем внутренние скобки, потом все остальное.

Итак, порядок действий для выражения выше такой (красным выделено текущее дествие, то есть действие, которое выполняю прямо сейчас):

Хорошо, это все просто.

Но это ведь не то же самое, что выражение с буквами?

Нет, это то же самое! Только вместо арифметических действий надо делать алгебраические, то есть действия, описанные в предыдущем разделе: приведение подобных , сложение дробей, сокращение дробей и так далее. Единственным отличием будет действие разложения многочленов на множители (его мы часто применяем при работе с дробями). Чаще всего для разложения на множители нужно применять я или просто выносить общий множитель за скобки.

Обычно наша цель - представить выражение в виде произведения или частного.

Например:

Упростим выражение.

1) Первым упрощаем выражение в скобках. Там у нас разность дробей, а наша цель - представить ее как произведение или частное. Значит, приводим дроби к общему знаменателю и складываем:

Больше это выражение упростить невозможно, все множители здесь - элементарные (ты еще помнишь, что это значит?).

2) Получаем:

Умножение дробей: что может быть проще.

3) Теперь можно и сократить:

Ну вот и все. Ничего сложного, правда?

Еще пример:

Упрости выражение.

Сначала попробуй решить сам, и уж только потом посмотри решение.

Перво-наперво определим порядок действий. Сначала выполним сложение дробей в скобках, получится вместо двух дробей одна. Потом выполним деление дробей. Ну и результат сложим с последней дробью. Схематически пронумерую действия:

Теперь покажу весть процесс, подкрашивая текущее действие красным:

Напоследок дам тебе два полезных совета:

1. Если есть подобные, их надо немедленно привести. В какой бы момент у нас ни образовались подобные, их желательно приводить сразу.

2. То же самое касается сокращения дробей: как только появляется возможность сократить, ей надо воспользоваться. Исключение составляют дроби, которые ты складываешь или вычитаешь: если у них сейчас одинаковые знаменатели, то сокращение нужно оставить на потом.

Вот тебе задачи для самостоятельного решения:

И обещанная в самом начале:

Решения (краткие):

Если ты справился хотя бы с первыми тремя примерами, то тему ты, считай, освоил.

Теперь вперед к обучению!

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Базовые операции упрощения:

  • Приведение подобных : чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.
  • Разложение на множители: вынесение общего множителя за скобки, применение и т.д.
  • Сокращение дроби : числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.
    1) числитель и знаменатель разложить на множители
    2) если в числителе и знаменателе есть общие множители , их можно вычеркнуть.

    ВАЖНО: сокращать можно только множители!

  • Сложение и вычитание дробей:
    ;
  • Умножение и деление дробей:
    ;

ТЕМА 2 : ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ. ФОРМУЛЫ. УРАВНЕНИЯ И ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ. КОМБИНАТОРИКА.

Раздел 1: Числовые выражения

Запись, составленную из чисел, знаков арифметических действий и скобок, называют числовым выражением Например : 36:4 – 25; 84 + (67 – 37) * 4 . а) Что значит найти значение числового выражения? Это значит необходимо выполнить все действия над числами, придерживаясь общепринятых правил порядка их выполнения. Например : (327 -123) : + 86 = 137 Порядок выполнения действий: 1) 327-123 = 204; 2) = 2 * 2 = 4; 3) 204: 4 = 51 ; 4) 51 + 86 = 137 б) «Чтение» числовых выражений Числовые выражения необходимо уметь «читать», используя названия действий. Например : 5+67 сумма чисел 5 и 67 ; 81 – 9 - разность чисел 81 и 9 ; 2 * (5 + 7) - произведение 2 и суммы чисел 5 и 7 ; 21: (7 – 4) - частное от деления 21 и разности 7 и 4 ; (35 + 7) * (35 – 7) – произведение суммы и разности чисел 35 и 7 . Запомни : Числовое выражение имеет только одно значение (правильный ответ). Раздел 2: Буквенные выражения Запись, которая состоит из чисел, букв, знаков арифметических действий и скобок, называется буквенным выражением Например: (3 + а) – 17 ; 6 + 3х; а: 3 + 5 * к. В буквенных выражениях используют те же знаки действий (+ , - , * , :) , как и у числовых,только часто не пишут знак умножить между числом и буквой. 3* х = 3х. а) Что значит найти значение буквенного выражения ? Для этого необходимо вместо буквы подставить соответствующее числовое значение и выполнить все действия в полученном числовом выражении: Пример 1 : Найти значение выражения 3х + 5 , если х = 15 Решение: если х = 15 , то 3х + 5 = 3 * 15 + 5 = 45 + 5 = 50 Пример 2 : В первом ящике лежало а яблок, а груши положили в в ящиков по 25 кг. Сколько всего яблок и груш? Вычислите значение полученного выражения при а = 30 , в = 3 . Решение: Если груши положили в в ящиков по 25 кг в каждый, то всего груш было 25в (кг) . Следовательно, всего яблок и груш было а + 25в (кг). Если а = 30 , в + 3 ,то а + 25В = 30 + 25 * 3 = 30 + 75 = 105 (кг). Запомни: Буквенное выражение имеет бесконечно много значений, которые зависят от значений букв.Изменяя значение буквы, мы получаем каждый раз новое значение буквенного выражения. Раздел 3: Формулы Иногда буквенное выражение обозначают одной буквой. Например периметр квадрата обозначили буквой Р. Тогда пишут Р = 4а. Эту запись называют формулой вычисления периметра квадрата. Известные нам формулы:

п/п

Раздел 4: Уравнения Уравнением, называется равенство, содержащее неизвестное, значение которого нужно найти. Корнем уравнения называется значение буквы, при котором уравнение становится верным числовым равенством. Решить уравнение – значит найти все его корни или убедиться,что их вообще нет. Пример1 : 0 * х = 12 . Это уравнение не имеет корней , т.к. при умножении нуля на число получают нуль, и число 12 никогда не получат. Пример 2 : 0 * х = 0 . Это уравнение имеет бесконечное множество корней, т.к. при умножении нуля на любое число мы всегда получаем нуль. а) простейшие уравнения: Чтобы найти вычитаемое , нужно из уменьшаемого вычесть разность. 346 – х = 259 х = 346 – 259 х = 87 Ответ: х = 87 чтобы найти уменьшаемое , нужно к разности прибавить вычитаемое. х – 250 = 52 х = 250 + 52 х = 302 Ответ: х = 302 Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель. 5*х = 500 х = 500: 5 х = 100 Ответ: х = 100 Чтобы найти неизвестное слагаемое , нужно от суммы вычесть известное слагаемое. 64 + х = 146 х = 146 – 64 х = 82 ответ: х = 82

Чтобы найти делитель , нужно делимое разделить на частное .240: х = 20 х = 240: 20 х = 12 Ответ: х = 12

Чтобы найти делимое , нужно частное умножить на делитель. х: 18 = 6 х = 6 * 18 х = 108 Ответ: х = 108

б) Примеры решения сложных уравнений: (х – 50) + 41 = 95 , где х -50 –слагаемоех -50 = 95 – 41х – 50 = 54 , где х - уменьшаемоех = 54 + 50х = 104Ответ: х = 104 77: (х + 10) = 7 , где х + 10 – делительх + 10 = 77: 7х + 10 = 11 , где х – слагаемоех = 11 – 10х = 1Ответ: х = 1 83 – (х – 42) = 12 , где х – 42 –вычитаемоех – 42 = 83 – 12х – 42 = 71 , где х – уменьшаемоех = 71 + 42х = 113Ответ: х = 113 (13 + х) – 58 = 126 , где 13+х -уменьшаемое13 + х = 126 + 5813 + х = 184 , где х - слагаемоех = 184 – 13х = 171ответ: х = 171

95 – (99 – х) = 8 , где 99 – х – вычитаемое99 – х = 95 – 899 – х = 87 , где х – вычитаемоех = 99 – 87х = 12ответ: х = 12

8 * (х – 14) = 56 , где х – 14 – множительх – 14 = 56: 8х – 14 = 7 , где х – уменьшаемоех = 7 + 14х = 21Ответ: х = 21

х: 8 – 6 = 49 , где х: 8 – уменьшаемоех: 8 = 49 + 6х: 8 = 55 ,где х – делимоех = 55 * 8х = 440Ответ: х = 440 52 + 72: х = 56 , где 72: х – слагаемое72: х = 56 – 5272: х = 4 , где х – делительх = 72: 4х = 18Ответ: х = 18

Раздел 5: Решение задач с помощью уравнений Типы задач: 1) Задачи с одной переменной На полке стояли книги. После того, как с полки взяли 12 книг, а поставили – 9 , на полке стало 39 книг. Сколько книг стояло на полке сначала?

Было

Решение: Пусть было Х книг, тогда (Х – 12) + 9 = 39 Х – 12 = 39 – 9 х – 12 = 30 х = 30 + 12 х = 42 (книг) – было Ответ: 42 книги. 2) Задачи с двумя одноименными величинами На двух полках стояло 72 книги. На второй полке стояло в 2 раза больше, чем на первой. Сколько книг стояло на каждой полке?

Первая полка

Решение: Пусть на первой полке стояло Х книг, тогда на второй стояло (2х) книг. Всего на полках стояло 72 книги. Составим уравнение: х + 2х = 72 х (1 + 2) = 72 3х = 72 х = 72: 3 х = 24 (книг) – на 1 – й полке 2) 24 * 2 = 48 (кн.) – на 2-й полке Ответ: 24 книги, 48 книг. 3) Задачи с тремя зависимыми величинами а) За 2 кг яблок и 3 кг груш заплатили 31 руб. Сколько стоит килограмм яблок и килограмм груш, если груши дороже яблок на 2 руб.

Фрукты

Решение: Пусть 1 кг яблок стоит х (руб.) , тогда 1 кг груш стоит (х + 2) руб. За 2кг яблок заплатили (2х) руб.) , а за 3 кг груш – 3* (х + 2) руб.За всю покупку заплатили 31 грн. Составим уравнение: 2х + 3 (х + 2) = 31 2х + 3х + 6 = 31 5х + 6 = 31 5х = 31 – 6 5х = 25 ; х = 25: 5 ; х = 5 (руб.) – стоит 1 кг яблок 2) 5 + 2 = 7 (руб.) – стоит 1 кг груш Ответ: 5 руб., 7 руб. б) Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из сёл, расстояние между которыми 50 км. Встретились они через 2 часа. Первый ехал со скоростью 12 км/ч. найдите скорость второго велосипедиста.

Велосипедист

Решение: Пусть скорость второго велосипедиста – х км/ч, тогда он поехал (2х) км, а первый проехал – (12 * 2) км. Общее расстояние 50 км. Составим уравнение: 2х + 12 * 2 = 50 ; 2х + 24 = 50 ; 2х = 50 – 24 2х = 26 х = 26: 2 х = 13 (км/ч) – скорость второго велосипедиста. Ответ: 13 км/ч. в) Катер прошел 51 км по течению реки и потратил на это 3 часа. Найдите скорость течения, если собственная скорость катера равна 15 км/ч.

Движение

Решение: Пусть скорость течения – х км/ч, тогда скорость по течению равна (15 + х) км/ч. Расстояние катера по течению реки составляет 3 * (15 + х) км. Составим уравнение: 3 * (15 + х) = 51 15 + х = 51: 3 15 + х = 17 х = 17 – 15 х = 2 (км/ч) – скорость течения реки Ответ: 2 км/ч.

ПАМЯТКА ДЛЯ УЧЕНИКА

Примерное поурочное планирование учебного материала

Пункт учебника Число уроков Дидактические материалы Характеристика основных видов деятельности учащихся
8.1. О математическом языке О-44, П-34 Обсуждать особенности математического языка. Записывать математические выражения с учётом правил синтаксиса математического языка, составлять выражения по условиям задач с буквенными данными. Использовать буквы для записи математических предложений, общих утверждений; осуществлятьперевод с математического языка на естественный язык и наоборот. Иллюстрировать общие утверждения, записанные в буквенном виде, числовыми примерами
8.2. Буквенные выражения и числовые подстановки - Строить речевые конструкции с использованием новой терминологии (буквенное выражение, числовая подстановка, значение буквенного выражения, допустимые значения букв). Вычислятьчисловые значения буквенных выражений при данных значениях букв. Находить допустимые значения букв в выражении. Отвечать на вопросы задач с буквенными данными, составляя соответствующие выражения
8.3. Формулы. Вычисления по формулам О-45, П-35, П-36 Составлятьформулы, выражающие зависимости между величинами, в том числе по условиям, заданным рисунком. Вычислять по формулам, выражать из формулы одну величину через другие
8.4. Формулы длины окружности, площади круга и объёма шара Находить экспериментальным путёмотношение длины окружности к диаметру. Обсуждатьособенности числа π; находитьдополнительнуюинформацию об этом числе. Знакомитьсяс формулами длины окружности, площади круга, объёма шара; вычислять по этим формулам. Вычислять размеры фигур, ограниченных окружностями и их дугами. Округлятьрезультаты вычислений по формулам
8.5. Что такое уравнение О-46, «Проверь себя», П-37 Строить речевые конструкции с использованием слов «уравнение», «корень уравнения». Проверять, является ли указанное число корнем рассматриваемого уравнения. Решатьуравнения на основе зависимостей между компонентами действий. Составлятьматематические модели (уравнения) по условиям текстовых задач
Обзор и контроль

Основные цели : развить представления учащихся об использовании буквенной символики, сформировать элементарные навыки составления буквенных выражений и вычисления их значений, а также работы с формулами, дать первоначальное представление об уравнении с одной переменной.



Обзор главы . Глава включает материал, относящийся к алгебраическому блоку содержания курса математики 5-6 классов. Он группируется вокруг трёх фундаментальных алгебраических понятий: выражение, формула, уравнение. Изложение материала ведётся на основе знакомства с математическим языком, перевода с естественного языка на математический, использования математического языка для описания реальной действительности.

Вначале обсуждается вопрос об использовании букв для обозначения чисел, вводится понятие буквенного выражения и такие связанные с ним понятия, как «числовая подстановка», «значение буквенного выражения», «допустимые значения букв». На элементарном уровне отрабатываются соответствующие практические умения.

Опыт работы с буквенными выражениями является основой для изучения следующего фрагмента, в котором рассматривается вопрос о формулах. Формула для учащихся - это буквенное равенство, которое на символическом языке описывает некоторое правило. Учащиеся записывают в виде формул известные им правила вычисления некоторых величин (периметра и площади прямоугольника и квадрата, объёма прямоугольного параллелепипеда и т. д.) и знакомятся с новыми геометрическими понятиями и соответствующими формулами (длины окружности, площади круга, объёма шара).

Завершается глава обсуждением вопроса об уравнениях. Уравнение появляется как результат перевода условия текстовой задачи на математический язык. Решаются уравнения на этом этапе изучения курса известным из начальной школы приёмом - на основе зависимости между компонентами действий. Подчеркнём, что этот фрагмент по своей дидактической роли служит вводным этапом в тему «Уравнения», изучение которой будет начато в курсе алгебры 7 класса.

Материалы для контроля .

Пособие «Контрольные работы». Зачёт 7. Буквы и формулы.

Пособие «Тематические тесты». Тест 14. Буквы и формулы.

О математическом языке

Методический комментарий

Учащиеся уже имеют опыт использования букв для записи простейших выражений, свойств арифметических действий, для обозначения неизвестного числа. Они также умеют пользоваться такими математическими символами, как знаки арифметических действий, знаки сравнения, скобки. Теперь эти знания и умения служат основой для разговора о математическом языке как специальном языке науки, который создавался и совершенствовался вместе с развитием математики.

Упражнения в пункте направлены на формирование навыков чтения и записи буквенных выражений и буквенных равенств. Вся работа осуществляется как деятельность по переводу с естественного языка на математический и наоборот. К системе упражнений учебника целесообразно добавить задания на содержательную интерпретацию буквенных выражений, например: «Килограмм шоколадных конфет стоит а рублей, килограмм карамели стоит b рублей. Что могло быть куплено, если стоимость покупки (в рублях) равна a + b ? 3b ? 2a ? 2a + b ? Каков смысл выражения a b

Рассказать друзьям