Обзор моделей прогнозирования временных рядов: проба пера. Методы финансового прогнозирования

💖 Нравится? Поделись с друзьями ссылкой

В процессе финансового прогнозирования для расчета финансовых показателей используются такие специфические методы, как математическое моделирование, эконометрическое прогнозирование, экспертные оценки, построение трендов и составление сценариев, стохастические методы.

Математическое моделирование позволяет учесть множество взаимосвязанных факторов, влияющих на показатели финансового прогноза, выбрать из нескольких вариантов проекта прогноза наиболее соответствующий принятой концепции производственного, социально-экономического развития и целям финансовой политики.

Эконометрическое прогнозирование основано на принципах экономической теории и статистики: расчет показателей прогноза осуществляется на основе статистических оценочных коэффициентов при одной или нескольких экономических переменных, выступающих в качестве прогнозных факторов; позволяет рассмотреть одновременное изменение нескольких переменных, влияющих на показатели финансового прогноза. Эконометрические модели описывают с определенной степенью вероятности динамику показателей в зависимости от изменения факторов, влияющих на финансовые процессы. При построении эконометрических моделей используется математический аппарат регрессионного анализа, который дает количественные оценки усредненных взаимосвязей и пропорций, сложившихся в экономике в течение базисного периода. Для получения наиболее надежных результатов экономико-математические методы дополняются экспертными оценками.

Метод экспертных оценок предполагает обобщение и математическую обработку оценок специалистов-экспертов по определенному вопросу. Эффективность этого метода зависит от профессионализма и компетентности экспертов. Такое прогнозирование может быть достаточно точным, однако экспертные оценки носят субъективный характер, зависят от «ощущений» эксперта и не всегда поддаются рациональному объяснению.

Трендовый метод , предполагающий зависимость некоторых групп доходов и расходов лишь от фактора времени, исходит из постоянных темпов изменений (тренд постоянных темпов роста) или постоянных абсолютных изменений (линейный временной тренд). Недостатком данного метода является игнорирование экономических, демографических и других факторов.

Разработка сценариев не всегда исходит из научности и объективности, в них всегда ощущается влияние политических предпочтений, предпочтений отдельных должностных лиц, инвесторов, собственников, но это позволяет оценить последствия реализации тех или иных политических обещаний.

Стохастические методы предполагают вероятностный характер как прогноза, так и связи между используемыми данными и прогнозными финансовыми показателями. Вероятность расчета точного финансового прогноза определяется объемом эмпирических данных, используемых при прогнозировании.

Таким образом, методы финансового прогнозирования различаются по затратам и объемам предоставляемой итоговой информации: чем сложнее метод прогнозирования, тем больше связанные с ним затраты и объемы получаемой с его помощью информации.

Точность прогнозов

Основными критериями при оценке эффективности модели, используемой в прогнозировании, служат точность прогноза и полнота представления будущего финансового состояния прогнозируемого объекта. Вопрос с точностью прогноза несколько более сложен и требует более пристального внимания. Точность или ошибка прогноза - это разница между прогнозным и фактическим значениями. В каждой конкретной модели эта величина зависит от ряда факторов.

Чрезвычайно важную роль играют исторические данные, используемые при выработке модели прогнозирования. В идеале желательно иметь большое количество данных за значительный период времени. Кроме того, используемые данные должны быть "типичными" с точки зрения ситуации. Стохастические методы прогнозирования, использующие аппарат математической статистики, предъявляют к историческим данным вполне конкретные требования, в случае невыполнения которых не может быть гарантирована точность прогнозирования. Данные должны быть достоверны, сопоставимы, достаточно представительны для проявления закономерности, однородны и устойчивы.

Точность прогноза однозначно зависит от правильности выбора метода прогнозирования в том или ином конкретном случае. Однако это не означает, что в каждом случае применима только какая-нибудь одна модель. Вполне возможно, что в ряде случаев несколько различных моделей выдадут относительно надежные оценки. Основным элементом в любой модели прогнозирования является тренд или линия основной тенденции изменения ряда. В большинстве моделей предполагается, что тренд является линейным, однако такое предположение не всегда закономерно и может отрицательно повлиять на точность прогноза. На точность прогноза также влияет используемый метод отделения от тренда сезонных колебаний - сложения или умножения. При использовании методов регрессии крайне важно правильно выделить причинно-следственные связи между различными факторами и заложить эти соотношения в модель.

Прежде чем использовать модель для составления реальных прогнозов, ее необходимо проверить на объективность, с тем чтобы обеспечить точность прогнозов. Этого можно достичь двумя разными путями:

Результаты, полученные с помощью модели, сравниваются с фактическими значениями через какой-то промежуток времени, когда те появляются. Недостаток такого подхода состоит в том, что проверка "беспристрастности" модели может занять много времени, так как по-настоящему проверить модель можно только на продолжительном временном отрезке.

Модель строится исходя из усеченного набора имеющихся исторических данных. Оставшиеся данные можно использовать для сравнения с прогнозными показателями, полученными с помощью этой модели. Такого рода проверка более реалистична, так как она фактически моделирует прогнозную ситуацию. Недостаток этого метода состоит в том, что самые последние, а, следовательно, и наиболее значимые показатели исключены из процесса формирования исходной модели.

В свете вышесказанного относительно проверки модели становится ясным, что для того, чтобы уменьшить ожидаемые ошибки, придется вносить изменения в уже существующую модель. Такие изменения вносятся на протяжении всего периода применения модели в реальной жизни. Непрерывное внесение изменений возможно в том, что касается тренда, сезонных и циклических колебаний, а также любого используемого причинно-следственного соотношения. Эти изменения затем проверяются с помощью уже описанных методов. Таким образом, процесс оформления модели включает в себя несколько этапов: сбор данных, выработку исходной модели, проверку, уточнение - и опять все сначала на основе непрерывного сбора дополнительных данных с целью обеспечения надежности модели.

Виды прогнозов

Различают три основных вида прогноза: технологический, экономический и прогноз объема продаж (спроса).

1. Технологические прогнозы охватывают уровень развития НТП или технологическое развитие в сферах, непосредственно влияющих на производство, в котором осуществляется прогноз. Например, предприятие, выпускающее компьютеры, интересует перспективы расширения объема памяти на дискетах, т.к. они являются дополнительной продукцией для использования компьютеров, а предприятие, использующее вредные, токсичные вещества в своем производстве, интересует разработка технологий по очистке и утилизации отходов.

Развитие НТП приводит к появлению новых товаров и услуг, а те, в свою очередь, составляют серьезную конкуренцию существующим предприятиям. Грамотно сделанный прогноз позволит сэкономить финансовые ресурсы, предскажет развитие новых технологий, даже если научно-технические изменения не повлияли на производство продукции.

2. Экономический прогноз позволяет предусмотреть будущее состояние экономики, процентные ставки и другие факторы, влияющие на развитие любого предприятия. От результатов экономического прогноза зависят такие решения как: расширение или сокращение производственных мощностей; заключение новых договоров; увольнение или наем рабочих и т.д.

3. Представление о реальном уровне спроса на продукцию предприятия на конкретный период в будущем дает прогноз объема продаж. Такой прогноз является основой для планирования и проведения экономических расчетов. На спрос влияют множество факторов, учет которых можно выявить с помощью составления прогноза объема продаж (спроса). В качестве базы для будущего прогноза используются такие показатели, как уровень спроса в предшествующем периоде, демографические изменения, изменения рыночных долей отраслевых организаций, динамику политической ситуации, интенсивность рекламы, конкурентов и др.

Развитие специфических приемов прогнозного анализа происходит в результате конкретизации общих методов анали-за деятельности коммерческих организации, исключительно с точки зрения их динамики, движения. К числу таких приемов относятся методы экономического прогнозирования.

В наших условиях экономическое прогнозирование - это начальный этап планирования. Основываясь на изучении за-кономерностей развития различных экономических явлений и процессов, оно выявляет наиболее вероятные пути этого разви-тия и дает базу для выбора и обоснования плановых решений на любом уровне управления. Таким образом, функции эконо-мического прогнозирования исключительно аналитические. Ниже рассмотрены наиболее распространенные методы эконо-мического прогнозирования.

Исходным пунктом любого из методов прогнозирования является признание факта некоторой преемственности (или определенной устойчивости) изменении показателей финансо-во-хозяйственной деятельности от одного отчетного периода, к другому. Поэтому, в общем случае, прогнозный анализ при-менительно к коммерческой организации представляет собой изучение ее финансово-хозяйственной деятельности с целью определения финансового состояния в будущем

Для целей прогнозного анализа используется весь методи-ческий инструментарий анализа, достаточно хорошо описан-ный в экономической и специальной литературе. Однако осно-ву прогнозного анализа составляют методы прогнозирования и методы оценки чувствительности экономических результатов к предполагаемым изменениям ситуации.

В зависимости от вида используемой модели все мето-ды прогнозного анализа можно подразделить на три большие группы (см. рисунок):

  1. Эвристические методы - это неформальные методы ре-шения экономических задач, связанных со сложившейся хозяй-ственной ситуацией, на основе интуиции, опыта, экспертных оценок специалистов и т. д.

Они используются в основном для прогнозирования со-стояния объекта в условиях частичной или полной неопре-деленности, когда основным источником получения необхо-димых сведений служит интеллектуальный потенциал про-фессионалов, работающих в определенных сферах науки и бизнеса.

Наиболее распространенным из них является метод экс-пертных оценок - организованный сбор суждений и предло-жений специалистов (экспертов) по исследуемой проблеме с последующей обработкой полученных ответов.

  1. Детерминированные методы, предполагающие нали-чие функциональных или жестко детерминированных связей, когда каждому значению факторного признака соответствует вполне определенное неслучайное значение результативного признака. В качестве примера можно привести зависимости, реализованные в рамках известной модели факторного анализа фирмы Дюпон. Используя эту модель и подставляя в нее про-гнозные значения различных факторов, например выручки от реализации, оборачиваемости активов, степени финансовой зависимости и других, можно рассчитать прогнозное значение одного из основных показателей эффективности - коэффициен-та рентабельности собственного капитала.

Комбинированный метод

  1. Стохастические методы, предполагающие вероятностный характер как прогноза, так и самой связи между исследуемыми показателями. Вероятность получения точного прогноза растет с ростом числа эмпирических данных. Эти методы занимают ве-дущее место с позиции формализованного прогнозирования и су-щественно варьируют по сложности используемых алгоритмов. Результаты прогнозирования, полученные методами статистики, подвержены влиянию случайных колебаний данных, что может иногда приводить к серьезным просчетам.

Стохастические методы можно разделить на три типовые группы, которые показаны ниже. Выбор для прогнозирования ме-тода той или иной группы зависит от множества факторов, в том числе и от имеющихся в наличии исходных данных.

Первая ситуация - наличие динамического ряда - встречается на практике наиболее часто, финансовый менеджер или аналитик имеет в своем распоряжении данные о динамике показателя, на ос-новании которых требуется построить приемлемый прогноз. Ины-ми словами, речь идет о выделении тренда. Это можно сделать различными способами, основными из которых являются простой динамический анализ и анализ с помощью авторегрессионных за-висимостей.

Вторая ситуация - наличие пространственной совокупности - имеет место в том случае, если по некоторым причинам стати-стические данные о показателе отсутствуют либо есть основание полагать, что его значение определяется влиянием некоторых фак-торов. В этом случае может применяться корреляционно-регрес-сионный анализ, представляющий собой распространение просто-го динамического анализа на многомерный случай

Третья ситуация - наличие пространственно-временной со-вокупности - имеет место в том случае, когда: а) ряды динамики недостаточны по своей длине для построения статистически зна-чимых прогнозов; б) аналитик имеет намерение учесть в прогнозе влияние факторов, различающиеся по экономической природе и их динамике. Исходными данными служат матрицы показателей, каждая из которых представляет собой значения тех же самых по-казателей за различные периоды или на разные последовательные даты.

Необходимые предпосылки стохастического моделирования -возможность составления совокупности наблюдений (измерений); качественная однородность совокупности относительно изучае-мых связей; достаточная размерность совокупности; наличие со-ответствующих методов.

Метод экспертных оценок. Основой данного метода являет-ся опрос специалистов, который может быть индивидуальным, коллективным, очным, заочным, анонимным и т.д. Организаторы опроса определяют объект и цели экспертизы, подбирают экс-пертов, проверяют их компетентность, анализируют и обобщают результаты экспертизы. Как правило, это обеспечивает принятие решения наиболее простым и быстрым образом.

Недостатком является снижение или полное отсутствие пер-сональной ответственности за сделанный прогноз. Экспертные оценки применяются не только для прогнозирования значений по-казателей, но и в аналитической работе, например, для разработки весовых коэффициентов, пороговых значений контролируемых показателей и т.п.

Метод пропорциональных зависимостей. Основой для раз-работки метода пропорциональных зависимостей показателей послужили две основные характеристики любой экономической системы - взаимосвязь и инерционность.

Одной из очевидных особенностей действующей коммерче-ской организации как системы является естественным образом со-гласованное взаимодействие ее отдельных элементов (как качест-венных, так и поддающихся количественному измерению) Это оз-начает, что многие показатели, даже не будучи связанными между собой формализованными алгоритмами, тем не менее изменяются в динамике согласованно.

Вторая характеристика - инерционность - в приложении к дея-тельности компании также достаточно очевидна. Смысл ее состо-ит в том, что в стабильно работающей компании с устоявшимися технологическими процессами и коммерческими связями не мо-жет быть резких «всплесков» в отношении ключевых количест-венных характеристик.

Метод балансовой модели. Суть данного метода ясна уже из его названия. Баланс коммерческой организации может быть опи-сан различными балансовыми уравнениями, отражающими взаи-мосвязь между различными активами и пассивами. Простейшим из них является основное балансовое уравнение, которое имеет вид:

На практике прогнозирование осуществляется путем исполь-зования более сложных балансовых уравнений и сочетания данно-го метода с другими методами прогнозирования.

Метод системы опережающих индикаторов. Идея, лежащая в основе такого подхода, основывается на предсказании перехода деятельности от подъема к спаду (или, наоборот, от спада к подъе-му), для чего необходимо сформировать «систему раннего обнару-жения». Иными словами, необходимо выделить такие показатели, у которых поворотные точки наступают раньше, чем у показателя, принятого для характеристики жизненного цикла. Тогда достиже-ние пика или впадины опережающим индикатором позволило бы указать на вероятное приближение пика или впадины в динамике развития организации.

В зависимости от того, как экономические показатели меня-ются в ходе жизненного цикла (достигают ли они максимума (ми-нимума) до или после прохождения высшей (низшей) поворотной точки жизненного цикла) выделяют три типа циклических показа-телей - опережающие, совпадающие и запаздывающие.

Опережающими считаются такие показатели, которые дости-гают максимума (минимума) перед наступлением пика (дна) дело-вой активности.

Совпадающими считаются показатели, которые изменяются одновременно с динамикой экономической активности.

Запаздывающими считаются показатели, которые достигают максимума (минимума) после пика (дна) экономической активности.

Проведенное исследование позволяет сделать вывод о том, что почти все исследуемые показатели носят циклический харак-тер и во многом копируют динамику рентабельности активов. Но проявление их различно. Некоторые из них являются совпадаю-щими на отдельной стадии развития организации, некоторые опережающими, другие запаздывающими.

Методы динамических рядов. Динамический ряд (у) - это ряд наблюдений значений измеряемого параметра (u) в после-довательные моменты времени (t):

Динамический ряд есть частный случай табличной функ-ции, которая представляет собой «протокол» любого наблюде-ния. Математическая обработка этой таблицы преследует цепь «выжать» из нее как можно больше информации о закономер-ностях развития данного явления в прошлом и настоящем, ис-пользовать полученную информацию для характеристики яв-ления в будущем.

Задача прогнозирования динамических рядов заключается в том, чтобы по имеющимся наблюдениям за ходом экономи-ческого процесса в моменты времени t 1 , t 2 ,..., t n , предсказать зна-чения измеряемого параметра в моменты времени t n + 1 , t n + 2 и т.д.

Несмотря на кажущуюся простоту, данная задача в общем виде для нестационарных процессов еще не решена. Большая часть экономических процессов нестационарна, что выража-ется наличием в динамических рядах эволюторной составля-ющей - временного тренда. Поэтому среди методов прогнози-рования динамических рядов большое место занимают всевоз-можные неформальные, эмпирические методы, базирующиеся на интуиции и опыте специалистов определенной отрасли.

Неформальный подход к анализу позволяет сделать прогно-зирование динамических рядов более определенным путем вве-дения в подстановку дополнительных ограничений (условий).

Метод простого динамического анализа. Каждое значение временного ряда может состоять из следующих составляющих: тренда, циклических, сезонных и случайных колебаний. Метод простого динамического анализа используется для определения тренда имеющегося временного ряда Данную составляющую можно рассматривать в качестве общей направленности измене-ний значений ряда или основной тенденции ряда. Циклическими называются колебания относительно линии тренда для периодов свыше одного года. Такие колебания в рядах финансовых и эко-номических показателей часто соответствуют циклам деловой активности: резкому спаду, оживлению, бурному росту и застою. Сезонными колебаниями называются периодические изменения значений ряда на протяжении года. Их можно вычленить после анализа тренда и циклических колебаний. Наконец, случайные ко-лебания выявляются путем снятия тренда, циклических и сезон-ных колебаний для данного значения. Остающаяся после этого величина и есть беспорядочное отклонение, которое необходимо учитывать при определении вероятной точности принятой модели прогнозирования.

Метод простого динамического анализа исходит из пред-посылки, что прогнозируемый показатель (Y) изменяется прямо (обратно) пропорционально с течением времени. Поэтому для оп-ределения прогнозных значений показателя Үстроится, например, следующая зависимость:

Метод авторегрессионных зависимостей. В основу этого метода заложена достаточно очевидная предпосылка о том, что экономические процессы имеют определенную специфику. Они отличаются, во-первых, взаимозависимостью и. во-вторых, опре-деленной инерционностью. Последняя означает, что значение пра-ктически любого экономического показателя в момент времени (зависит определенным образом от состояния этого показатели в предыдущих периодах (в данном случае абстрагируемся от вли-яния других факторов), т.е. значения прогнозируемою показате-ля в прошлых периодах должны рассматриваться как факторные признаки. Уравнение авторегрессионной зависимости в наиболее общей форме имеет вид:

Достаточно точные прогнозные значения могут быть получе-ны уже при k = 1. На практике также нередко используют моди-фикацию уравнения (4), вводя в него в качестве фактора период времени t, т.е. объединяя методы авторегрессии и простого ди-намического анализа. В этом случае уравнение регрессии будет иметь вид:

Коэффициенты регрессии данного уравнения могут быть най-дены методом наименьших квадратов.

Метод корреляционно-регрессионного анализа. Это клас-сический метод стохастического моделирования. Он изучает взаимосвязи показателей хозяйственной деятельности, когда зависимость между ними не является строго функциональной и искажена влиянием посторонних, случайных факторов. При проведении корреляционно-регрессионного анализа строят различные корреляционные и регрессионные модели хозяйст-венной деятельности. В этих моделях выделяют факторные и результативные показатели (признаки). В зависимости от коли-чества исследуемых показателей различают парные и многофак-торные модели корреляционно-регрессионного анализа.

Корреляционно-регрессионный анализ применяется для по-строения прогноза какого-либо показателя с учетом существую-щих связей между ним и другими показателями. Сначала в резуль-тате качественного анализа выделяется k факторов (X 1 , Х 2 ,., X k), влияющих, по мнению аналитика, на изменение прогнозируемого показателя Y, и строится чаще всего линейная регрессионная за-висимость типа:

Основной задачей корреляционно-регрессионного анализа является выяснение формы и тесноты связи между результа-тивным и факторными показателями. Под формой связи пони-мают тип аналитической формулы, выражающей зависимость результативного показателя от изменений факторного. Раз-личают связь прямую, когда с ростом (снижением) значений факторного показателя наблюдается тенденция к росту (сни-жению) значений результативного показателя. В противном случав между показателями существует обратная связь. Форма связи может быть прямолинейной (ей соответствует уравнение прямой пинии), когда наблюдается тенденция равномерного возрастания или убывания результативного показателя, в про-тивном случае форма связи называется криволинейной (ей со-ответствует уравнение параболы, гиперболы и др.).

Аналитические достоинства регрессионных моделей за-ключаются в том, что, во-первых, точно определяются фактор, по которому выявляются резервы повышения результативно-сти финансово-хозяйственной деятельности; во-вторых, вы-являются объекты с более высоким уровнем эффективности; в-третьих, возникает возможность количественно измерить экономический эффект от внедрения передового опыта, прове-дения организационно-технических мероприятий.

Метод имитационных моделей. В такие модели включаются данные о планируемых закупках материалов и комплектующих, объемах производства и сбыта, структуре издержек, инвестици-онной активности компании, налоговом окружении и т д. Об-работка этой информации в рамках единой финансовой модели позволяет оценить прогнозное финансовое состояние организа-ции с очень высокой степенью точности. Реально такого рода модели можно строить только с использованием персональных компьютеров, позволяющих быстро производить огромный объ-ем необходимых вычислений. Однако эти методы не являются предметом настоящей работы, поскольку должны иметь под со-бой гораздо более широкое информационное обеспечение, чем бухгалтерская отчетность, что делает невозможным их примене-ние внешними аналитиками.

Литература:

  1. Ваганова О.Е. Прогнозный анализ денежных потоков предприя-тия. - journal.seun/ru/J2004_1R/Ecnomy/VAGANOVA.DOC
  2. Шереметьев А.О. Анализ эффективности использования эко-номического потенциала коммерческой организации на разных стадиях жизненного цикла. Автореф. дисс. на соис. уч. ст. канд. экон. наук, Йошкар-Ола, 2008. - 27 с.
  3. Ковалев В.В., Ковалева Вит. В. Финансовая отчетность. Анализ финансовой отчетности (основы балансоведения). 2-е изд., пе-рераб. и доп. - М.: ТК Велби, Проспект, 2006. - 432 с.

В мировой практике используется более двухсот методов прогнозирования, в отечественной же науке - не более двадцати. Во введении указывалось, что будут рассматриваться методы финансового прогнозирования, получившие широкое распространение в развитых зарубежных странах.

Таким образом, в зависимости от вида используемой модели все методы прогнозирования можно подразделить на три большие группы (см. Рисунок 1):

Методы экспертных оценок , которые предусматривают многоступенчатый опрос экспертов по специальным схемам и обработку полученных результатов с помощью инструментария экономической статистики. Это наиболее простые и достаточно популярные методы, история которых насчитывает не одно тысячелетие. Применение этих методов на практике, обычно, заключается в использовании опыта и знаний торговых, финансовых, производственных руководителей предприятия или госучреждения. Как правило, это обеспечивает принятие решения наиболее простым и быстрым образом. Недостатком является снижение или полное отсутствие персональной ответственности за сделанный прогноз. Экспертные оценки применяются не только для прогнозирования значений показателей, но и в аналитической работе, например, для разработки весовых коэффициентов, пороговых значений контролируемых показателей и т. п.

Стохастические методы , предполагающие вероятностный характер как прогноза, так и самой связи между исследуемыми показателями. Вероятность получения точного прогноза растет с ростом числа эмпирических данных. Эти методы занимают ведущее место с позиции формализованного прогнозирования и существенно варьируют по сложности используемых алгоритмов. Наиболее простой пример - исследование тенденций изменения объема продаж с помощью анализа темпов роста показателей реализации. Результаты прогнозирования, полученные методами статистики, подвержены влиянию случайных колебаний данных, что может иногда приводить к серьезным просчетам.

Стохастические методы можно разделить на три типовые группы, которые будут названы ниже. Выбор для прогнозирования метода той или иной группы зависит от множества факторов, в том числе и от имеющихся в наличии исходных данных.

Первая ситуация - наличие временного ряда - встречается на практике наиболее часто: финансовый менеджер или аналитик имеет в своем распоряжении данные о динамике показателя, на основании которых требуется построить приемлемый прогноз. Иными словами, речь идет о выделении тренда. Это можно сделать различными способами, основными из которых являются простой динамический анализ и анализ с помощью авторегрессионых зависимостей.

Вторая ситуация - наличие пространственной совокупности - имеет место в том случае, если по некоторым причинам статистические данные о показателе отсутствуют либо есть основание полагать, что его значение определяется влиянием некоторых факторов. В этом случае может применяться многофакторный регрессионный анализ, представляющий собой распространение простого динамического анализа на многомерный случай.

Рис. 1 . Классификация методов прогнозирования финансового состояния предприятия

Третья ситуация - наличие пространственно-временной совокупности - имеет место в том случае, когда: а) ряды динамики недостаточны по своей длине для построения статистически значимых прогнозов; б) аналитик имеет намерение учесть в прогнозе влияние факторов, различающиеся по экономической природе и их динамике. Исходными данными служат матрицы показателей, каждая из которых представляет собой значения тех же самых показателей за различные периоды или на разные последовательные даты.

Детерминированные методы , предполагающие наличие функциональных или жестко детерминированных связей, когда каждому значению факторного признака соответствует вполне определенное неслучайное значение результативного признака. В качестве примера можно привести зависимости, реализованные в рамках известной модели факторного анализа фирмы Дюпон. Используя эту модель и подставляя в нее прогнозные значения различных факторов, например выручки от реализации, оборачиваемости активов, степени финансовой зависимости и других, можно рассчитать прогнозное значение одного из основных показателей эффективности - коэффициента рентабельности собственного капитала.

Другим весьма наглядным примером служит форма отчета о прибылях и убытках, представляющая собой табличную реализацию жестко детерминированной факторной модели, связывающей результативный признак (прибыль) с факторами (доход от реализации, уровень затрат, уровень налоговых ставок и др.). А на уровне государственного финансового прогнозирования факторной моделью выступает взаимосвязь объема государственных доходов и налоговой базы или ставок процента.

Здесь нельзя не упомянуть об еще одной группе методов для финансового прогнозирование на микро уровне, основанных на построении динамических имитационных моделей предприятия. В такие модели включаются данные о планируемых закупках материалов и комплектующих, объемах производства и сбыта, структуре издержек, инвестиционной активности предприятия, налоговом окружении и т.д. Обработка этой информации в рамках единой финансовой модели позволяет оценить прогнозное финансовое состояние компании с очень высокой степенью точности. Реально такого рода модели можно строить только с использованием персональных компьютеров, позволяющих быстро производить огромный объем необходимых вычислений.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Участок, до которого не дошла продольная волна, уменьшился за время At на величину ((/ / 2) + а0 At). Участок, где прошла только продольная волна, увеличился на (a0 - b) At, а участок, где прошли и продольная и поперечная волны, увеличился на b At. Посчитаем полную энергию всей струны за время At

2Wo((/ / 2) + ao At) + 2[ W^ - b) + E2b] At = = W/ + 2[(W - Wo)ao + (W2 - Wi) b] At = W/ +

E{[(eo - ei)2 + ei2 - eo2]ao +

+ [(eo - e1)2 (((1 + cos9) / (1 - cos9)) - 1)]x xao ((eo - e1) / (1 + e1)) (cos9 / (1 - cos9))}At =

Wo/ + Eao{(eo - e1)2 + e12 - eo2 + (eo - e1)2(2

cos29 / (1 - cos9)2) ((eo - e1) / (1 + e1))} At =,

учитывая

Wo/ + Eao[(eo - e1)2 + e12 - eo2 + 2(eo - e1) x x (e1 (1 + e1) / (1 + e1))] At = Wo/ + Eao At = Wo/.

Как и следовало из постоянства интеграла энергии, полная энергия всей струны в этой конкретной задаче постоянна, а если за нулевую энергию принять Eo/, то полная энергия будет равна нулю.

Сравним величины энергий на участках продольной и поперечных волн в случае,

когда продольное возмущение дошло до конца струны. В этом случае участок, где нет возмущения, отсутствует, а полная энергия складывается из энергий на участках продольного и поперечного движений. Очевидно, что вклад энергии продольных и поперечных волн в полную энергию будет одинаков.

При рассмотрении продольно-поперечных движений струн нельзя ограничиваться рассмотрением только поперечных составляющих и пренебрегать продольными, поскольку они вносят равный вклад в энергетику и динамическое нагружение струн.

В приведенных примерах проиллюстрировано распределение энергий между продольными и поперечными волнами и проведено сравнение энергий поперечного и продольного движений. Вклад энергии продольных составляющих в общую энергию колебаний гибких связей может быть найден как разность между полной энергией и энергией поперечных колебаний.

Библиографический список

1. Рахматулин, Х.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках / Х.А. Рахматулин, Ю.А. Демьянов. - М.: Физматгиз, 1961. - 399 с.

2. Демьянов, Ю.А. К уточнению теории колебаний музыкальных инструментов / Ю.А. Демьянов // Доклады РАН. - 1999. - Т 369. - № 4.

МЕТОДИКА ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

А.В. ТРЕГУБ, доц. МГУЛ, канд. физ.-мат. наук,

И.В. ТРЕГУБ, доц. Финансовой академии при Правительстве РФ, канд. техн. наук

Математическое моделирование сложных экономических систем на современном этапе предполагает, как правило, использование аналитических подходов к изучению функционирования реальных объектов. В различных задачах, встречающихся при моделировании, могут использоваться величины, значения которых определяются случайным образом. Примерами таких величин могут быть случайные воздействия внешней среды, случайные моменты времени, в которые система находится в особом состоянии и т.п. Системы, в которых переменные или воз-

действия являются случайными величинами, называются стохастическими.

На сегодняшний день технологии прогнозирования экономических показателей разработаны достаточно хорошо. Среди методов прогнозирования, наиболее часто применяемых в экономической практике, можно отметить методы экспертных оценок, основывающиеся на субъективной оценке текущего момента и перспектив развития. Эти методы успешно используются для конъюнктурных оценок, особенно в случаях, когда невозможно получить непосредствен-

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2oo8

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ную информацию о каком-либо явлении или процессе.

Методы анализа и прогнозирования динамических рядов связаны с исследованием изолированных друг от друга показателей, каждый из которых состоит из двух элементов: из прогноза детерминированной компоненты и прогноза случайной компоненты. Разработка первого прогноза не представляет больших трудностей, если определена основная тенденция развития и возможна ее дальнейшая экстраполяция. Прогноз случайной компоненты связан с определением закона вероятности и оценкой его параметров.

В основе казуальных методов определяются факторы, обусловливающие поведение прогнозируемого показателя. Поиск этих факторов приводит собственно к экономикоматематическому моделированию - построению модели поведения экономического объекта, учитывающей развитие взаимосвязанных явлений и процессов. Следует отметить, что применение многофакторного прогнозирования требует решения проблемы выбора факторов, которая связана с необходимостью глубокого изучения экономического содержания рассматриваемого явления или процесса.

Среди методов оценивания на практике успешно применяется теория игр, регрессионный анализ, известно нейросетевое прогнозирование, нечеткая логика и имитационное моделирование. Разработаны соответствующие программные пакеты, которые, к сожалению, не всегда доступны рядовому пользователю, в то же время многие из этих проблем можно достаточно успешно решать, реализуя алгоритмы в широко известном и распространенном пакете прикладных программ MS Excel.

В данной статье представлено вероятностное прогнозирование объема продаж дополнительных услуг на рынке телекоммуникаций, осуществленное на основе эмпирических данных.

Выборочное наблюдение. Под выборочным наблюдением понимается метод статистического исследования, при котором обобщающие показатели изучаемой системы устанавливаются по некоторой ее части на основе положений случайного отбора. При

выборочном методе изучается сравнительно небольшая часть всех данных, характеризующих систему. Выборка должна быть представительной (репрезентативной), чтобы по ней можно было судить о генеральной совокупности. Репрезентативность означает, что объекты выборки должны обладать теми же свойствами, что и генеральная совокупность. Предупреждение систематических ошибок выборочного обследования достигается в результате применения научно обоснованных способов формирования выборочной совокупности, в зависимости от которых выборка может быть: собственно-случайной, механической, типической, серийной, комбинированной. Собственно-случайная выборка образуется в результате случайного (непреднамеренного) отбора отдельных единиц из генеральной совокупности. Формирование выборки может быть осуществлено по схемам повторного и бесповторного отбора. При этом повторный отбор предполагает возможность включения в выборку одного и того же элемента генеральной совокупности два раза и более, бесповторный отбор исключает такую возможность.

Первый шаг на пути создания прогноза при выборочном наблюдении - это сбор и анализ статистической информации об исследуемой системе, формирование выборки из генеральной совокупности, отслеживание аномальных результатов в выборке.

В нашем случае анализируемым параметром является объем продаж дополнительных услуг регионального оператора сотовой связи за один месяц. Под генеральной совокупностью в данной задаче мы будем понимать множество месячных объемов продаж дополнительных услуг по предоставлению пользователю информации (новости, биржевые сводки, прогноз погоды и т.п.), полученных региональным оператором за все время работы на рынке. При этом к одной генеральной совокупности будем относить информационные сервисы с сопоставимыми за анализируемый период объемами продаж.

Выборкой из генеральной совокупности в нашем случае будет множество месячных объемов продаж услуг определенного сервиса. Формирование выборки осуществляется

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2008

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

в табличном процессоре Microsoft Excel, в котором выполнена собственно-случайная выборка, реализованная по схеме повторного отбора.

Далее необходимо построить вероятностную модель, оценить ее параметры и построить прогноз. Построение модели основано на выборе и идентификации закона распределения. Алгоритм выбора закона распределения целиком и полностью базируется на аппарате математической статистики. Идентификация закона распределения заключается в последовательной реализации двухэтапной процедуры для каждого вида параметрической модели из рассматриваемого множества законов. На первом этапе процедуры на основании выборочных данных строится модель закона определенного вида (из рассматриваемого множества моделей), оцениваются параметры этой модели. На втором этапе оценивается степень адекватности полученной модели экспериментальным наблюдениям, как правило, с применением различных критериев согласия.

При проведении выборочного обследования и построения прогноза объема продаж мы будем формировать две выборки из генеральной совокупности. Одну - для подбора и идентификации закона распределения вероятностей, другую - для оценки параметров моделируемого теоретического закона распределения.

Анализ эмпирических данных. Прежде чем приступать к построению модели, необходимо проанализировать наблюдаемые значения переменных на наличие аномальных результатов, т.е. таких наблюдений, которые резко отличаются в большую или меньшую сторону от средних значений по выборке. Поскольку существенным моментом вероятностного прогнозирования является предположение о законе распределения, соответствующего реальным наблюдаемым величинам, и оценка параметров этого распределения , то любые отклонения от предположений могут повлиять на оценки.

Если наблюдаемая выборка действительно принадлежит тому закону распределения, параметры которого мы оцениваем, отклонения могут быть связаны с наличием

аномальных наблюдений, появление которых в выборке определяется самыми различными причинами. Если не учитывать наличие аномальных наблюдений, попытки оценивания параметров распределения могут привести к самым негативным результатам. В этом случае обычно отбраковывают аномальные величины, а затем находят оценки параметров. К сожалению, реализовать отбраковку наблюдений в общем случае оказывается совсем не просто. Наблюдения, аномальные с позиций одного закона распределения, являются естественным проявлением закономерностей другого. Если нет надежной процедуры отбраковки или практических соображений, связанных с сущностью наблюдаемой величины, пытаются выйти из положения одним из следующих способов. В первом случае усекают выборку, отбрасывая определенную часть минимальных и/или максимальных наблюдений, и по оставшейся части оценивают параметры распределения. Во втором - перед процедурой оценивания всем наблюдениям левее и/или правее определенных значений присваивают одинаковые значения. Обе эти процедуры могут не всегда приводить к положительным результатам. Третий подход заключается в цензурировании выборки. Для наблюдений, попавших левее и/или правее определенных значений, фиксируют лишь факт попадания в соответствующий интервал, опуская конкретные значения этих наблюдений. По такой цензурированной выборке оценивают параметры закона.

В работе доказано, что процедура предварительного группирования наблюдений перед вычислением оценок параметров распределения позволяет резко снизить влияние аномальных наблюдений, а иногда практически исключить последствия присутствия их в выборке. При этом также снижается влияние на оценки параметров и отклонение вида наблюдаемого закона распределения от предполагаемого. Кроме того, группирование исходных наблюдений позволяет получать устойчивые оценки параметров.

Построение эмпирического распределения. Для построения эмпирического распределения будем использовать одну из двух сформированных ранее выборок. Груп-

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2008

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

пирование наблюдений используется как при оценке параметров распределений, в задачах проверки статистических гипотез, так и для построения эмпирического распределения.

Выборка называется группированной, если область определения случайной величины разбита на к непересекающихся интервалов граничными точками х0 < *1 < ... < <

х где *0 - нижняя грань области определения случайной величины X, хк - верхняя грань области определения случайной величины X, и зафиксированы количества наблюдений п, попавших в i-ый интервал значений. Объем выборки определяется соотношением

Существуют различные способы объединения данных в группы. При группировании область определения случайной величины разбивается на интервалы равной длины или равной вероятности, кроме того существует еще так называемое асимптотически оптимальное группирование. Нахождение х. граничных точек интервалов в этом случае связано с вычислением интегралов вида

P(e)=] f (х,в)л,

которые не всегда имеют аналитическое решение, здесь e - скалярный или векторный параметр распределения, функция P(e) - вероятность попадания наблюдаемой величины в i-й интервал, f(x, e) - плотность распределения.

В данной работе в качестве способа группировки выбрано разбиение области определения объема продаж на интервалы равной длины. Величину интервала b для группировки исходных данных определим по формуле

Xmin) / 0} - 1),

где х - х - максимальные и минимальные

значения;

{n} - округленное оптимальное число групп, определяемое по формуле Стерджесса n = 1 + 3,322lg(N);

N - объем выборки.

Нижняя граница первого интервала соответствует минимальному значению объема продаж за рассматриваемый период, правая граница последнего интерва-

ла - максимальному значение объема продаж. Относительная частота попадания переменной в интервал определяется по формуле

где ni - количество исходных значений, попавших в i-й интервал.

Графическое изображение эмпирических данных в виде гистограммы относительных частот - удобный и наглядный способ представления выборки, необходимый для первичного формирования гипотезы о законе распределения генеральной совокупности. При построении графика по оси абсцисс (OX) отложим значения середины интервалов объема продаж, а соответствующие им значения относительных частот - по оси ординат (OF). На рис. 1 приведен график эмпирических относительных частот, представленных в виде гистограммы.

Оценка параметров эмпирического распределения. Визуальный анализ графика показывает, что эмпирическое распределение является унимодальным и несимметричным. Для более детального описания воспользуемся надстройкой «Пакет анализа» «Описательная статистика» MS Excel. Результаты расчета приведены в таблице.

Средняя арифметическая - наиболее часто используемый показатель центра распределения, в нашем случае равна 17313,18. Вычисление средней X в программе осуществляется по формуле, совпадающей с формулой оценки математического ожидания методом моментов. Следовательно, в качестве оценки математического ожидания в начальном приближении можно использовать значение д = 17313,8. Оценка дисперсии, выполненная Пакетом анализа, дает значение D = 11631522,29.

Мода (Мо) - это наиболее часто встречающееся значение признака, или значение варианты с наибольшей частотой.

Медианой (Me) является значение варианты, находящейся в центре упорядоченной по возрастанию значений признака совокупности. Медиана делит вариационный ряд на две равные части. При этом 50 % единиц совокупности имеют значение меньше медианного, а 50 % - больше медианного.

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2008

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Объем продаж, USD

I I эмпирическая относительная частота й теоретическое гамма-распределение -♦ - теоретическое нормальное распределение

Рис. 1. Гистограмма относительных частот и теоретические функции плотности вероятности

Месячный объем продаж, USD

Среднее 17313,18

Стандартная ошибка 363,56

Медиана 16539

Стандартное отклонение 3410,50

Дисперсия выборки 11631522,29

Эксцесс 0,46

Асимметрично сть 0,71

Интервал 16988

Минимум 10801

Максимум 27789

Сумма 1523560

В нашем случае значение моды равно 16802, а значение медианы - 16539.

Для симметричного распределения значения средней, медианы и моды должны совпадать. В нашем же случае они различны. Таким образом, можно предположить, что искомое распределение несимметрично.

Чтобы в этом убедиться, надо определить, есть ли смещения в рассеянии данных. Индикатором этих смещений является скошенность данных или, по-другому, асимметрия As - показатель симметрии распределения. В случае положительной асимметрии распределение имеет длинную правую ветвь. Средняя величина больше медианы. Отрицательная асимметрия проявляется в виде более длинной левой ветви, а величина средней меньше медианы и моды. В случае симмет-

ричного распределения, например нормального, As = 0. При этом следует учитывать значимость коэффициента асимметрии. Если выполняется неравенство

|As| / ° < 3

ш \(n+1)(n+3) ’

n - количество наблюдений, то асимметричность считается несущественной.

Коэффициент асимметрии, рассчитанный в «Описательной статистике», равен 0,71, а значение параметра = 0,26. Следовательно, в нашем случае \ASI / = 2,73 < 3,

и асимметрией при подборе теоретического распределения объема продаж за месяц можно пренебречь. Параметры, полученные на основе эмпирических данных, могут быть использованы как начальные приближения при построении вероятностной модели.

Построение математической модели. Для исследуемой экономической системы построение модели, как правило, включает два этапа. На первом этапе высказываются предположения о виде модели закона распределения и по выборкам, извлекаемым из генеральной совокупности, оцениваются параметры этой модели. На втором этапе адекватность модели наблюдаемым данным проверяется с использованием критериев согласия типа Пирсона, типа Колмогорова, типа Мизеса и других. В статистике этим этапам соответствует основные типы задач: идентификация закона распределения и проверка статистических гипотез, оценивание параметров распределения.

Под задачей идентификации закона распределения наблюдаемой случайной величины, как правило, понимают задачу выбора такой модели закона распределения вероятностей, которая наилучшим образом соответствует результатам наблюдения.

Визуальный анализ гистограммы относительных частот (рис. 1) позволяет сделать предположение о том, что вероятностная модель может быть представлена в виде нормального или гамма-распределения. Для построения кривых теоретических законов распределения найдем оценку параметров нормального и гамма-распределений, исполь-

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2008

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

зуя вторую из двух сформированных ранее выборок.

Среди всего множества различных оценок параметров модели можно выделить три основных класса оценок . Это M-оценки, к которым относятся, например, оценки максимального правдоподобия и наименьших квадратов, L-оценки, формирующиеся как линейные комбинации порядковых статистик, и R-оценки, основанные на использовании ранговых критериев. Еще один класс оценок образуют методы, минимизирующие расстояния (MD-оценки).

Определяющими факторами при выборе метода оценивания являются структура представления наблюдаемых данных и качество оценок. Качество оценок определяется такими свойствами, как несмещенность, состоятельность и асимптотическая эффективность. Вместе с тем, оценки должны быть устойчивыми к малым отклонениям от предположений.

Если последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин xp..., xN имеет функцию распределения F(x, 9) и функцию плотности fx,9), то оценкой максимального правдоподобия (ОМП) неизвестного векторного или скалярного параметра 9 по группированным наблюдениям называется такое значение параметра, при котором функция правдоподобия

достигает максимума на множестве возможных значений параметра. Вероятность попадания наблюдения в i-ый интервал значений определяется выражением

Р (е)= J f (x,e)dx.

Для вычисления ОМП дифференцируют функцию правдоподобия по 01 и, приравнивая производные нулю, получают систему уравнений правдоподобия

решая которые находят искомые оценки параметров, здесь m - размерность вектора параметров.

Закон гамма-распределения имеет функцию плотности вероятности

Р“- Г (а) где Г(а)- гамма функция.

Векторный параметр гамма распределения 0 = (а, в), при этом связь с оценками математического ожидания и дисперсии осуществляется по формулам

д = а-р, D = а-р2.

Для нормального распределения 0 = (д, а), где a=4D - среднеквадратичное отклонение. Плотность вероятности нормального закона распределения вероятности задается формулой

Функция правдоподобия для нормального распределения имеет вид

Продифференцировав функцию правдоподобия по параметрам д, а, приравняв получившиеся уравнения к нулю и выразив значения д, D, получим, что искомые оценки параметров нормального распределения, осуществленные по методу максимума правдоподобия, совпадают с оценками, выполненными по методу моментов.

д=x=NZxi D=N_1,^(x" _ x) ■

Значения математического ожидания и дисперсии в этом случае равны соответственно

д = 17313, D = 11631522. (1)

Для гамма-распределения ОМП параметров а, р находятся аналогичным способом с дифференциацией соответствующей функции правдоподобия. В этом случае система уравнений для определения оценок параметров а, р имеет вид

1 N dlnГ(0) , n л

Zlnx.----------lnP = 0 .

Данная система была решена численными методами, в результате чего получились следующие значения параметров

а = 25,8; р = 671,8. (2)

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2008

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Метод максимального правдоподобия, в отличие от других, позволяет определять оценки максимального правдоподобия параметров по негруппированным, частично группированным и группированным данным, т.е. дает возможность исследователю самому определять, в каком виде хранить эмпирическую информацию. Этот метод при соответствующих условиях регулярности дает состоятельные и асимптотически эффективные оценки. Кроме того, применение метода максимального правдоподобия регламентировано в Рекомендациях по стандартизации при проверке согласованности опытного распределения с теоретическим.

Используя оценки параметров распределения (1) и (2), полученные по выборке из генеральной совокупности в предыдущем пункте, на графике относительных частот построим теоретические законы распределения вероятностей. На рис. 1 кривая, соответствующая нормальному закону распределения, изображена в виде пунктирной линии, закон гамма-распределения представлен сплошной линией. Из графика видно, что эти два закона достаточно хорошо аппроксимируют эмпирический закон распределения, однако для принятия решения о виде распределения необходимо решить задачу идентификации закона распределения.

Для этого, опираясь на предыдущий анализ эмпирических данных, сформулируем гипотезу H0: F(x) = F(x, 9), где 9 - оценки (2) параметров гамма-распределения, рассчитанные по второй выборке методом максимума правдоподобия. В этом случае проверяемая гипотеза является простой в отличие от сложной гипотезы, в которой помимо проверки вида распределения необходимо еще производить оценивание параметром.

В случае простых гипотез для проверки согласия теоретического и эмпирического законов распределения применяются критерии согласия, такие как Колмогорова, Смирнова, ш2 и Q2 Мизеса, которые не зависят от вида наблюдаемого закона распределения F(x, 9) и, в частности, от его параметров 9. В этом случае при проверке согласия опытного распределения с теоретическим распределением случайной величины X действуют

в соответствии алгоритмом, представленным ниже:

1. Формулируют проверяемую гипотезу, выбирая теоретическое распределение случайной величины, согласие которого с опытным распределением этой величины следует проверить.

2. Из совокупности отбирают случайную выборку объема N. Полученные результаты наблюдений располагают в порядке их возрастания, так что в распоряжении имеют упорядоченную выборку значений.

3. В соответствии с выбранным критерием проверки вычисляют значение статистики S* критерия (статистику Колмогорова, Смирнова, ш2 и Q2 Мизеса).

4. В соответствии с выбранным критерием проверки вычисляют значение

p(> SS >7 g (Ho yis =1-G(? Ho),

где G(S\H0) - распределение статистики критерия при справедливости гипотезы

g(s|H0) - условная плотность распределения статистики критерия при справедливости гипотезы.

Если выполняется неравенство

p{S > S*} > a,

где a = J g(s|H0)ds

Задаваемый уровень значимости (вероятность ошибки 1-го рода - отклонить справедливую гипотезу H0), то нет оснований для отклонения проверяемой гипотезы. В противном случае проверяемая гипотеза H0 отвергается.

В критерии Колмогорова в качестве расстояния между эмпирическим и теоретическим законом используется величина

dn = sup|FN (x)-F (x,e), (3)

где FN(x) - эмпирическая функция распределения;

F(x, 9) - теоретическая функция распределения;

N - объем выборки.

При проверке гипотез обычно используется статистика вида

S = S = 6" N6^DNN +1, D„ = max(D+N, Dn),

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2008

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

F(x ,e), D-=f^iiN iF (xi,e)-

где N - объем выборки;

xp..., xN - упорядоченные по возрастанию выборочные значения;

F(x) - функция закона распределения, согласие с которым проверяется.

Распределение величины Sk при простой гипотезе в пределе подчиняется закону Колмогорова K(S) .

Для проверки согласия двух распределений воспользуемся статистикой Колмогорова. Выберем уровень значимости a = 0,05, рассчитаем значение статистики Колмогорова для нашей задачи и величину расстояния между эмпирическим и теоретическим законом (3). В нашем случае оказалось, что теоретическое гамма-распределение согласуется с экспериментальными данными.

Повторяя вышеизложенные расчеты для нормального распределения, получаем, что нормальное распределение также хорошо согласуется с опытными данными. Следовательно, на основании выбранного критерия проверки Колмогорова два теоретических закона распределения - нормальный и гамма - могут быть использованы для построения прогнозной модели.

Прогноз объема продаж

- ♦ - нормальное распределение USD -*- гамма-распределение

Рис. 2. Интегральные функции вероятности гамма- и нормального распределения

Результаты моделирования. Для

построения прогноза объема продаж дополнительных услуг сотовой связи необходимо рассчитать значения интегральных функций

найденных выше теоретических законов нормального и гамма-распределения вероятностей с оцененными параметрами (1) и (2) этих распределений. График, построенный на рис. 2, позволяет спрогнозировать будущее значение месячного объема продаж с заданной вероятностью. Так, с 95 % вероятностью можно утверждать, что объем продаж в следующем месяце составит 11745 USD. При этом относительная погрешность прогноза в зависимости от выбора модели нормального или гамма-распределения в этом случае не превышает одного процента.

Для дальнейшего исследования модели прогнозирования объема продаж дополнительных услуг представляется целесообразным формулировать две конкурирующие гипотезы: H0: F(x) = F(x, e) - о соответствии эмпирических данных гамма-распределению и альтернативную ей H1: F(x) = F1(x, Э) - о нормальном распределении наблюдаемых величин, и рассчитывать вероятность в ошибки 2-го рода, т.е вероятность ошибочного принятия гипотезы H0, в то время как верна гипотеза Н1. При этом чем больше мощность критерия 1-в, тем лучше он различает соответствующие гипотезы.

Напоследок следует заметить, что в дальнейшем построенную вероятностную модель объема продаж можно улучшить, если идентификацию закона проводить с использованием ряда критериев согласия. Это связано в первую очередь с тем, что в непараметрических критериях проверки согласия опытного и теоретического распределений типа Колмогорова, типа Мизеса, типа Смирнова, и в критериях согласия типа хи-квадрат используются различные меры, поэтому критерии по-разному улавливают в выборках различные отклонения от предполагаемых теоретических законов. В этом случае окончательное решение может быть принято по совокупности критериев, когда выбирается модель, для которой достигаемый уровень значимости по всем критериям максимален.

Кроме того, при идентификации планируется рассматривать более широкое множество законов распределения, в том числе модели в виде смесей законов. В этом случае для любого эмпирического распределения можно построить адекватную, статистически

ЛЕСНОИ ВЕСТНИК 2/2008

Рассказать друзьям