Дифференциальные исчисления функции одной и нескольких переменных. Дифференциальное и интегральное исчисление

💖 Нравится? Поделись с друзьями ссылкой

Студент должен:

знать:

· определение предела функции в точке;

· свойства предела функции в точке;

· формулы замечательных пределов;

· определение непрерывности функции в точке,

· свойства непрерывных функций;

· определение производной, ее геометрический и физический смысл; табличные производные, правила дифференцирования;

· правило вычисления производной сложной функции; определение дифференциала функции, его свойства; определение производных и дифференциалов высших порядков; определение экстремума функции, выпуклой функции, точек пере­гиба, асимптот;

· определение неопределенного интеграла, его свойства, табличные интегралы;

· формулы интегрирования при помощи замены переменной и по частям для неопределенного интеграла;

· определение определенного интеграла, его свойства, основную формулу интегрального исчисления - формулу Ньютона-Лейбница;

· формулы интегрирования при помощи замены переменной и по частям для определенного интеграла;

· геометрический смысл определенного интеграла, приложения оп­ределенного интеграла.

уметь:

· вычислять пределы последовательностей и функций; раскрывать неопределённости;

· вычислять производные сложных функций, производные и диффе­ренциалы высших порядков;

· находить экстремумы и точки перегиба функций;

· проводить исследование функций с помощью производных и стро­ить их графики.

· вычислять неопределенные и определенные интегралы методом замены переменной и по частям;

· интегрировать рациональные, иррациональные и некоторые триго­нометрические функции, применять универсальную подстановку; применять определенный интеграл для нахождения площадей плоских фигур.

Предел функции. Свойства предела функции. Односторонние пределы. Предел суммы, произведения и частного двух функций. Непрерывные функции, их свойства. Непрерывность элементарных и сложных функций. Замечательные пределы.

Определение производной функции. Производные основных элементар­ных функций. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции. Производная сложной функции. Правила дифференцирования: производная суммы, произведения и частного. Производные и дифференциалы высших порядков. Раскрытие неопределенностей. Возрастание и убывание функций, условия возрастания и убывания. Экстремумы функ­ций, необходимое условие существования экстремума. Нахождение экс­тремумов с помощью первой производной. Выпуклые функции. Точки пе­региба. Асимптоты. Полное исследование функции.

Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных интегралов. Метод замены переменных. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Универсальная подстановка.

Определенный интеграл, его свойства. Основная формула интегрально­го исчисления. Интегрирование заменой переменной и по частям в опреде­ленном интеграле. Приложения определенного интеграла.

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

для студентов дневного отделения

факультета математики

Часть 5

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

Печатается по решению кафедры математического анализа и РИСа РГПУ им. А.И. Герцена

Методическое пособие предназначено для студентов дневного отделения 1-3 курсов математического факультета РГПУ им. А.И. Герцена.

В соответствии с программой по математическому анализу пособие включает в себя 28 различных вариантов домашних индивидуальных контрольных работ по темам «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных», «Кратные интегралы и их приложения». Перед вариантами контрольных работ приведены некоторые теоретические сведения и разобраны примеры, решение которых сопровождается методическими указаниями к ним.

Материал пособия может быть использован для проведения практических занятий, контрольных и проверочных работ на естественнонаучных факультетах высших учебных заведений.

Старший преподаватель О.С. Корсакова,

кандидат ф.-м.н., ассистент К.Г. Межевич

Рецензент: зав.каф. матем. анализа РГПУ им. А.И. Герцена,

    Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. М.: Просвещение, 1972, т.1,2.

    Виленкин Н.Я. и др. Задачник по курсу математического анализа. - М.: Просвещение, 1971. Ч.1,2.

    Кузнецов А.А. Сборник заданий по высшей математике. М.: Высшая школа, 1983.

    Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М.: Высшая школа, 1988. Т. 1,2.

    Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных. С.-Пб, 1994.

    Поволоцкий А.И., Лихтарников Л.М. Метрические пространства. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Учебное пособие / ЛГПИ им. А.И. Герцена.-Л., 1985.

    Поволоцкий А.И., Лихтарников Л.М. Интегральное исчисление функций нескольких переменных и дифференциальные уравнения. Учебное пособие / ЛГПИ им. А.И. Герцена.-Л., 1986.

    Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. - М.: Наука, 1968. Т.1, 2.

Функции нескольких переменных

ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ГРАФИК ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть и каждой точке
поставлено в соответствие число
. Тогда говорят, что на множествеD определена числовая функция нескольких переменных
.

Множество D называется областью определения функции, точка
-аргументом функции.

Будем далее рассматривать функцию двух переменных
. Отметим, что все сказанное ниже можно распространить и на функциюn переменных, где n >2 .

Множество всех точек
, для которых функция
, заданная аналитически, имеет смысл, называется естественнойобластью определения этой функции.

Например, областью определения функции
является открытый круг радиуса 2 с центром в начале координат, который задается неравенством
.

Графиком функции
, где
, называется множество. Оно задает некоторую поверхность в пространстве
.

Например, графиком функции
,
, является параболоид.

Пример 1. Найдем область определения функции
.

Функция определена в тех точках плоскости
, где
.

Это неравенство равносильно совокупности двух систем:

и
.

Первой системе неравенств удовлетворяют координаты всех точек, расположенных на параболе
или выше нее, и лежащих в полуплоскости
. Это множество заштриховано на рисунке 1. Второй системе удовлетворяют координаты точек, лежащих в множестве, заштрихованном на рис. 2. Следовательно, областью определения данной функции является объединение найденных множеств, т.е. множество, которое выделено штриховкой на рис. 3.

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

Линией уровня функции
, называется множество точек
, удовлетворяющих уравнению
.

Аналогично определяются уровни (или поверхности уровня ) функции n переменных, если n >2.

Пример 2. Найдем линии уровня функции
.

Отметим, что функция определена на всей плоскости
.

Для построения линий уровня надо для любого
найти множество точек плоскости, координатыx , y которых удовлетворяют уравнению
. Следовательно, если
, то
, а если
, то
.

Очевидно, что с отрицательным быть не может (в этом случае говорят, что с -уровнем функции при c <0 является пустое множество).

Найдем линию уровня при с=0 :

.

Аналогично находятся линии уровня для различных с>0 .

На рис. 4 изображены линии уровня для с=0 , с=1 и с=2 .

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Множество (открытый круг радиуса
с центром в точке
) называется-окрестностью точки
. Через
будем обозначать проколотую окрестность точки
.

Точка
называетсяпредельной точкой множества
, если пересечение любой-окрестности точки
и множестваD содержит хотя бы одну точку, отличную от
, т.е. для

.

Заметим, что предельная точка может и не принадлежать множеству D .

Пусть функция
определена на множествеD и точка
- предельная точкаD .

Число А называется пределом функции
в точке
, если для любой-окрестности
точкиА (
) существует-окрестность
точки
такая, что для любой точки

значение функции
попадает в окрестность
.

Таким образом,


:



)


:

).

Пример 3. Докажем, что
.

Заметим, что данная функция определена на всей плоскости за исключением точки (0,0) .

Поскольку
, то для любого
существует
(а именно
) такое, что для всех точек
, удовлетворяющих условию
, справедливо неравенство
.

Функция
называетсянепрерывной в точке
, если
.

Функция называется непрерывной на множестве D , если она непрерывна в каждой точке множества D .

Пример 4. 1) Функция
непрерывна в точке (0,0), поскольку
(см. пример 3).

2) Функция
в точке (0,0) терпит разрыв, т.к.



.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Пусть функция
определена в некоторой окрестности точки
. Если существуют конечные пределы
и
, то они называютсячастными производными функции
в точке
по переменнымx и y соответственно и обозначаются
и
(или:
и
).

Для вычисления частной производной (или) пользуются известными формулами и правилами дифференцирования функции одной переменной, считая другую переменнуюy (или x ) постоянной величиной.

Пример 5. Найдем частные производные функции
.

Если считать y = const , то - степенная функция отx , поэтому
.

Если x = const , то - показательная функция отy , и, следовательно,
.

Функция
называетсядифференцируемой в точке
, если существуют числаА и В такие, что приращение

функцииf в точке
представимо в виде

где
при
.

Главная часть полного приращения
, линейная относительно
и
, т.е.
, называетсяполным дифференциалом функции
в точке
и обозначается
.

Таким образом,

.

Дифференциалом независимой переменной по определению считаем ее приращение, т.е.
,
.

Функция называется дифференцируемой на множестве D , если она дифференцируема в каждой точке множества D .

Теорема 1. Если функция
дифференцируема в точке
и

- ее дифференциал в этой точке, то в этой точке существуют частные производные функцииf , и, кроме того,

=А ,
=В .

Теорема 1 дает возможность вычислять дифференциал функции f по формуле


+
.

Согласно теореме 1, если функция дифференцируема в точке, то в этой точке существуют частные производные функции. Обратное не верно. Для дифференцируемости функции требуется выполнение более сильных условий, чем наличие частных производных в точке.

Теорема 2. Если частные производные
и
функцииf существуют в некоторой окрестности точки
и непрерывны в
, то функцияf дифференцируема в точке
.

Пример 6. Вычислим частные производные и дифференциал функции
в точке (1, 1/5).

,

,

,
;

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Теорема 3. Пусть функции
и
определены в некоторой окрестности точки
, а функция
определена в некоторой окрестности точки.

Если функция f дифференцируема в точке
, а в точке
существуют производные
, то в точке
существует производная сложной функции
, причем

,
.

Пример 7. Найдем частные производные сложной функции
, где,.

Пример 8. Найдем производную сложной функции
, где
,
. В этом примере функцииx и y зависят от одной переменной t , поэтому сложная функция
- функция одной переменной.

Пример 9. Пусть f (u ) - произвольная дифференцируемая функция. Докажем, что функция
удовлетворяет уравнению
. Положим
.

Следовательно,

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Пусть функция
в окрестности точки
имеет частную производную.

Частная производная функции по переменнойx называется частной производной второго порядка по переменной x и обозначается или
.

Частная производная по переменной y называется частной производной второго порядка по переменным x и y и обозначается или
.

Аналогично определяются частные производные второго порядка и(
и
) как частные производные функции.

Производные иназываютсясмешанными частными производными.

Теорема 4. Пусть функция
определена вместе со своими частными производными,,
,
в некоторой окрестности точки

и
непрерывны в этой точке. Тогда значения смешанных производных в этой точке равны, т.е.

=

.

Частные производные от производных второго порядка называются частными производными третьего порядка:
и т.д.

Частная производная (по любой из независимых переменных) от частной производной порядка m -1 называется частной производной порядка m .

Теорема 4 справедлива и для смешанных производных третьего, четвертого и более высоких порядков. Например, если функция
определена вместе со своими частными производными до порядка 3 включительно в некоторой окрестности точки
, причем смешанные производные
,
и
непрерывны в этой точке, то значения смешанных производных в этой точке равны:

=

=

.

Дифференциалом второго порядка функции двух переменных называется дифференциал от дифференциала первого порядка.

Если функция
дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки
(т.е. существуют непрерывные частные производные функцииf до второго порядка включительно в окрестности точки
), тогда


.

Пример 10. Найдем производные второго порядка дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции
, где
,
.

,
.


=

=
,


=

=
,

аналогично вычисляем


.

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ

Пусть l - единичный вектор в
с координатами
.

Производной функции
по направлению вектора l в точке
называется .

Производная по направлению обозначается

.

Градиентом функции f в точке
называется вектор, координатами которого являются частные производные функции в точке:

grad f
= (
,
) =
i +
j .

Легко показать, что производная по направлению l равна скалярному произведению вектора градиента и вектора l :


=

+

=
,

где  - угол между векторами grad f
иl .

Из последней формулы следует, что производная по направлению вектора grad f
имеет наибольшее значение среди производных по различным направлениям и равна модулю вектора градиента.

Пример 11. Найдем производную функции
в точкеМ (1, 0) в направлении вектора MN , где N (5, 3) .

Вектор MN имеет координаты (4, 3),
. Значит, единичный векторl имеет координаты (4/5, 3/5). Вычислим частные производные в точке М :
,
. Тогда
(1,0)=64/5 + 0 3/5 = 24/5.

Пример 12. Найдем производную функции
в точке (2,3) в направлении вектора градиента в этой точке.

Вычислим частные производные:

,
.

Производная в направлении вектора градиента в точке равна модулю вектора grad f . Следовательно,

КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ

Для дифференцируемой в точке
функции
верно следующее соотношение:

где
,
(это следует из определения дифференциала первого порядка). КоэффициентыА и В однозначно определяются:
=А ,
=В .

Уравнение

является уравнением плоскости, проходящей через точку
. Эта плоскость называетсякасательной плоскостью к графику функции
в точке
.

Таким образом, касательной плоскостью к графику функции
в точке является такая плоскость, что разность ее аппликаты и значения функции
в этой точке есть величина, бесконечно малая по сравнению с при 0 .

Уравнение нормали к графику функции
в точке
имеет вид


.

Если уравнение гладкой поверхности задано в неявном виде
, то уравнение касательной плоскости в точке
имеет вид

а уравнение нормали в этой точке:



.

Пример 13. Напишем уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
в точке (-2, 1, 4).

,
. Уравнение касательной плоскости имеет вид:или
.

Уравнение нормали: .

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Точка
называется точкойлокального максимума (локального минимума ) функции
,
, если существует окрестность точки
, для всех точек которой выполнено неравенство

(
).

Точки локального максимума и локального минимума функции называются точками локального экстремума .

Например, точка (0,0) является точкой минимума функции
.

Теорема 5 (необходимое условие экстремума ). Если функция
имеет в точке
локальный экстремум и в этой точке существуют частные производныеf , то


=0 и
=0.

Точка
называетсястационарной точкой функции f , если
=0 и
=0.

Теорема 6 (достаточное условие экстремума ). Пусть функция
дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки
.

Обозначим =



- (

) 2 . Тогда

1) если > 0, то в точке
функцияf имеет локальный экстремум: максимум при

> 0 и минимум при

< 0;

2) если < 0, то в точке
функцияf не имеет экстремума;

3) если = 0, то в точке
функцияf может иметь локальный экстремум, а может и не иметь его (в этом случае требуются дополнительные исследования).

Пример 14. Исследуем на экстремум функцию

Отметим, что функция u определена и дифференцируема на всей плоскости.
,
. Приравнивая частные производные к нулю и решая полученную систему, находим стационарные точки функции: (2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2).

=
=.

(2, 1) = 36∙(1 - 4) = -108 < 0, поэтому в точке (2, 1) экстремума нет.

(1, 2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0,
, следовательно, в точке (1, 2) функция имеет минимум, u (1,2) = -25.

(-2, -1) = 36∙(1 – 4) = -108 < 0, в точке (-2, -1) экстремума нет.

(-1, -2) = 36∙(4 - 1) = 108 > 0, , следовательно, в точке (-1, -2) функция имеет максимум, u (-1, -2) = 31.

НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

Пусть функция
непрерывна на ограниченном замкнутом множествеD .

Напомним, что множество
называетсяограниченным , если существует такая окрестность U (0,0), что
U (0,0); множество
называетсязамкнутым , если оно содержит все свои предельные точки.

По теореме Вейерштрасса существуют такие точки
и
, что
является наибольшим значением функции на множествеD , а
- наименьшим ее значением на множествеD .

Функция, дифференцируемая в ограниченной области и непрерывная на ее границе, достигает своего наибольшего и наименьшего значений либо в стационарных точках, либо в граничных точках D .

Пример 15. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на множествеD , ограниченном прямыми
,
,
.

y (2, 1), (1, 2), (-2, -1), (-1, -2) - стационарные

точки функции u (см. пример 14), но (-2,-1),

(-1,-2) не принадлежат D .

u (2, 1) = -23, u (1, 2) = -25.

D Изучим поведение функции u на

x границе множества D .


Рис. 5
. Это функция одной переменной,

которая принимает наименьшее значение в точке
, а наибольшее значение в точке
:u (4,0) = -45, u (0,0)= 3;

2)
,
. На этом отрезке
. Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке, вычислим ее значения в стационарных точках и на концах отрезка:
;
, но
, поэтому вычисляемu (0,0) = 3, u (0,
)= =
, u (0,4) = 7. Наибольшим является значение в точке (0,4), а наименьшим - в точке (0,
);

3)
,
. Здесь


.

Вычисляем значения функции в стационарных точках и на концах отрезка: ;;u (0,4)= 7, u (3/2, 5/2) = -20, u (5/2,3/2)= -18, u (4,0)= -45. На этом участке границы наибольшим является значение функции в точке (0,4), а наименьшим - в точке (4,0).

Из полученных в пунктах 1)-3) наименьших и наибольших значений функции на различных участках границы и из значений функции в стационарных точках выбираем самое большое и самое маленькое. Наибольшее значение: u (0,4)= 7, наименьшее значение: u (4,0)= -45.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математического анализа, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применение к исследованию функций. Дифференциальное исчисление сложилось как самостоятельная дисциплина во 2-й половине 17 века под влиянием трудов И. Ньютона и Г. В. Лейбница, в которых они сформулировали основные положения дифференциального исчисления и отметили взаимно обратный характер дифференцирования и интегрирования. С этого времени дифференциальное исчисление развивалось в тесной связи с интегральным исчислением, составляя вместе с ним основную часть математического анализа (или анализа бесконечно малых). Создание дифференциального и интегрального исчислений открыло новую эпоху в развитии математики, повлекло за собой появление ряда новых математических дисциплин (теории рядов, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии, вариационного исчисления, функционального анализа) и существенно расширило возможности приложений математики к вопросам естествознания и техники.

Дифференциальное исчисление основывается на таких фундаментальных понятиях, как действительное число, функция, предел, непрерывность. Эти понятия приняли современный вид в ходе развития дифференциального и интегрального исчислений. Основные идеи и понятия дифференциального исчисления связаны с изучением функций в малом, т. е. в малых окрестностях отдельных точек, для чего требуется создание математического аппарата для исследования функций, поведение которых в достаточно малой окрестности каждой точки области их определения близко к поведению линейной функции или многочлена. Этот аппарат основан на понятиях производной и дифференциала. Понятие производной возникло в связи с большим числом различных задач естествознания и математики, приводящих к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие из этих задач - определение скорости движения материальной точки вдоль прямой линии и построение касательной к кривой. Понятие дифференциала связано с возможностью приближения функции в малой окрестности рассматриваемой точки линейной функцией. В отличие от понятия производной функции действительной переменной, понятие дифференциала легко переносится на функции более общей природы, в том числе на отображения одного евклидова пространства в другое, на отображения банаховых пространств в другие банаховы пространства и служит одним из основных понятий функционального анализа.

Производная . Пусть материальная точка движется вдоль оси Оу, а х обозначает время, отсчитываемое от некоторого начального момента. Описание этого движения даёт функция у = f(х), ставящая в соответствие каждому моменту времени х координату у движущейся точки. Эту функцию в механике называют законом движения. Важной характеристикой движения (особенно если оно является неравномерным) является скорость движущейся точки в каждый момент времени х (эту скорость называют также мгновенной скоростью). Если точка движется по оси Оу по закону у = f(х), то в произвольный момент времени х она имеет координату f(х), а в момент времени х + Δх - координату f(х + Δх), где Δх - приращение времени. Число Δy = f(х + Δх) - f(х), называемое приращением функции, представляет собой путь, пройденный движущейся точкой за время от х до х + Δх. Отношение

называемое разностным отношением, представляет собой среднюю скорость движения точки в промежутке времени от х до х + Δх. Мгновенной скоростью (или просто скоростью) движущейся точки в момент времени х называется предел, к которому стремится средняя скорость (1) при стремлении к нулю промежутка времени Δх, т. е. предел (2)

Понятие мгновенной скорости приводит к понятию производной. Производной произвольной функции у = f(х) в данной фиксированной точке х называется предел (2) (при условии, что этот предел существует). Производную функции у = f(х) в данной точке х обозначают одним из символов f’(х), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Операцию нахождения производной (или перехода от функции к её производной) называют дифференцированием.

К пределу (2) приводит и задача построения касательной к плоской кривой, определяемой в декартовой системе координат Оху уравнением у = f(х), в некоторой её точке М (х, у) (рис.). Задав аргументу х приращение Δх и взяв на кривой точку М’ с координатами (х + Δх, f(х) + Δх)), определяют касательную в точке М как предельное положение секущей ММ’ при стремлении точки М’ к М (т. е. при стремлении Δх к нулю). Т. к. точка М, через которую проходит касательная, задана, построение касательной сводится к определению её углового коэффициента (т. е. тангенса угла её наклона к оси Ох). Проведя прямую МР параллельно оси Ох, получают, что угловой коэффициент секущей ММ’ равен отношению

В пределе при Δх → 0 угловой коэффициент секущей переходит в угловой коэффициент касательной, который оказывается равным пределу (2), т. е. производной f’(х).

К понятию производной приводит и ряд других задач естествознания. Например, сила тока в проводнике определяется как предел lim Δt→0 Δq/Δt, где Δq - положительный электрический заряд, переносимый через сечение проводника за время Δt, скорость химической реакции определяется как lim Δt→0 ΔQ/Δt, где ΔQ - изменение количества вещества за время Δt и, вообще, производная некоторой физической величины по времени является скоростью изменения этой величины.

Если функция у = f(х) определена как в самой точке х, так и в некоторой её окрестности, и имеет производную в точке х, то эта функция непрерывна в точке х. Пример функции у= |х|, определённой в любой окрестности точки х = 0, непрерывной в этой точке, но не имеющей производной при х = 0, показывает, что из непрерывности функции в данной точке, вообще говоря, не вытекает существование в этой точке производной. Более того, существуют функции, непрерывные в каждой точке своей области определения, но не имеющие производной ни в одной точке этой области определения.

В случае, когда функция у = f(х) определена только справа или только слева от точки х (например, когда х является граничной точкой отрезка, на котором задана эта функция), вводятся понятия правой и левой производных функции у = f(х) в точке х. Правая производная функции у = f(х) в точке х определяется как предел (2) при условии, что Δх стремится к нулю, оставаясь положительным, а левая производная - как предел (2) при условии, что Δх стремится к нулю, оставаясь отрицательным. Функция у = f(х) имеет в точке х производную тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке равные друг другу правую и левую производные. Указанная выше функция у =|х| имеет в точке х = 0 правую производную, равную 1, и левую производную, равную -1, и поскольку правая и левая производные не равны друг другу, эта функция не имеет производной в точке х = 0. В классе функций, имеющих производную, операция дифференцирования является линейной, т. е. (f(x) + g(x))’ = f’(x) + g’(x), и (αf(x))’ = αf’(x) для любого числа α. Кроме того, справедливы следующие правила дифференцирования:

Производные некоторых элементарных функций суть:

α - любое число, х > 0;

n = 0, ±1, ±2,

n = 0, ±1, ±2,

Производная любой элементарной функции снова является элементарной функцией.

Если производная f’(х), в свою очередь, имеет производную в данной точке х, то производную функции f’(х) называют второй производной функции у = f(х) в точке х и обозначают одним из символов f’’(х), y’’, ÿ, d 2 f/dx 2 , d 2 y/dx 2 , D 2 f(x).

Для материальной точки, движущейся вдоль оси Оу по закону у = f(х), вторая производная представляет собой ускорение этой точки в момент времени х. Аналогично определяются производные любого целого порядка n, обозначаемые символами f (n) (x), y (n) , d (n) f/dx (n) , d (n) y/dx (n) , D (n) f(x).

Дифференциал . Функция у = f(х), область определения которой содержит некоторую окрестность точки х, называется дифференцируемой в точке х, если её приращение в этой точке, отвечающее приращению аргумента Δх, т. е. величину Δy = f(x + Δх) - f(x) можно представить в виде Δy = AΔх + αΔх, где А = А(х), α = α(x, Δх) → 0 при Δх → 0. При этом выражение АΔх называется дифференциалом функции f(х) в точке х и обозначается символом dy или df(х). Геометрически при фиксированном значении х и меняющемся приращении Δх дифференциал есть приращение ординаты касательной, т. е. отрезок РМ" (рис.). Дифференциал dy является функцией как точки х, так и приращения Δх. Дифференциал называют главной линейной частью приращения функции, поскольку при фиксированном значении х величина dy является линейной функцией от Δх, а разность Δу - dy - бесконечно малой относительно Δх при Δх → 0. Для функции f(х) = х по определению dx = Δх, то есть дифференциал независимой переменной dx совпадает с её приращением Δх. Это позволяет переписать выражение для дифференциала в виде dy=Adx.

Для функции одной переменной понятие дифференциала тесно связано с понятием производной: для того чтобы функция у = f(х) имела в точке х дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную f’(х), при этом справедливо равенство dy = f’(х)dx. Наглядный смысл этого утверждения состоит в том, что касательная к кривой у = f(х) в точке с абсциссой х является не только предельным положением секущей, но также и прямой, которая в бесконечно малой окрестности точки х примыкает к кривой у = f(х) теснее, чем любая другая прямая. Таким образом, всегда А(х) = f’(х) и запись dy/dx можно понимать не только как обозначение для производной f’(х), но и как отношение дифференциалов функции и аргумента. В силу равенства dy = f’(х)dx правила нахождения дифференциалов непосредственно вытекают из соответствующих правил для производных. Рассматриваются также дифференциалы второго и более высоких порядков.

Приложения . Дифференциальное исчисление устанавливает связи между свойствами функции f(х) и её производных (или её дифференциалов), составляющие содержание основных теорем дифференциального исчисления. Среди этих теорем - утверждение о том, что все точки экстремума дифференцируемой функции f(х), лежащие внутри её области определения, находятся среди корней уравнения f’(х) = 0, и часто используемая формула конечных приращений (формула Лагранжа) f(b) - f(a) = f’(ξ)(b - a), где a<ξ 0 влечёт за собой строгое возрастание функции, а условие f ’’ (х) > 0 - её строгую выпуклость. Кроме того, дифференциальное исчисление позволяет вычислять различного рода пределы функций, в частности пределы отношений двух функций, представляющие собой неопределённости вида 0/0 или вида ∞/∞ (смотри Раскрытие неопределенностей). Особенно удобно дифференциальное исчисление для исследования элементарных функций, производные которых выписываются в явном виде.

Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Методы дифференциального исчисления применяются для исследования функций нескольких переменных. Для функции двух переменных u = f(х, у) её частной производной по х в точке М (х, у) называется производная этой функции по х при фиксированном у, определяемая как

и обозначаемая одним из символов f’(x)(x,y), u’(x), ∂u/∂x или ∂f(x,y)’/∂x. Аналогично определяется и обозначается частная производная функции u = f(x,y) по y. Величина Δu = f(x + Δx, y + Δy) - f(x,y) называется полным приращением функции и в точке М (х, у). Если эту величину можно представить в виде

где А и В не зависят от Δх и Δу, а α стремится к нулю при

то функция u = f(х, у) называется дифференцируемой в точке М (х, у). Сумму АΔх + ВΔу называют полным дифференциалом функции u = f(х, у) в точке М(х, у) и обозначают символом du. Так как А=f’х(х, у), В = f’у(х,у), а приращения Δх и Δу можно взять равными их дифференциалам dx и dy, то полный дифференциал du можно записать в виде

Геометрически дифференцируемость функции двух переменных u = f(х, у) в данной точке М (х, у) означает существование у её графика в этой точке касательной плоскости, а дифференциал этой функции представляет собой приращение аппликаты точки касательной плоскости, отвечающей приращениям dx и dy независимых переменных. Для функции двух переменных понятие дифференциала является значительно более важным и естественным, чем понятие частных производных. В отличие от функции одной переменной, для дифференцируемости функции двух переменных u = f(х, у) в данной точке М(х, у) не достаточно существования в этой точке конечных частных производных f’х(х, у), и f’у(х, у). Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции u = f(х, у) в точке М (х, у) заключается в существовании конечных частных производных f’х(х, у) и f’у(х, у) и в стремлении к нулю при

величины

Числитель этой величины получается, если сначала взять приращение функции f(х, у), отвечающее приращению Δх её первого аргумента, а затем взять приращение полученной при этом разности f(х + Δх, у) - f(х, у), отвечающее приращению Δу её вторых аргументов. Простым достаточным условием дифференцируемости функции u = f(х, у) в точке М(х, у) является существование непрерывных в этой точке частных производных f’х(х, у) и f’у(х, у).

Аналогично определяются частные производные высших порядков. Частные производные ∂ 2 f/∂х 2 и ∂ 2 f/∂у 2 , у которых оба дифференцирования ведутся по одной переменной, называют чистыми, а частные производные ∂ 2 f/∂х∂у и ∂ 2 f/∂у∂х - смешанными. В каждой точке, в которой обе смешанные частные производные непрерывны, они равны друг другу. Эти определения и обозначения переносятся на случай большего числа переменных.

Исторический очерк . Отдельные задачи об определении касательных к кривым и о нахождении максимальных и минимальных значений переменных величин были решены математиками Древней Греции. Например, были найдены способы построения касательных к коническим сечениям и некоторым другим кривым. Однако разработанные античными математиками методы были далеки от идей дифференциального исчисления и могли применяться лишь в весьма частных случаях. К середине 17 века стало ясно, что многие из упомянутых задач вместе с другими (например, задача определения мгновенной скорости) могут быть решены при помощи одного и того же математического аппарата, при использовании производных и дифференциалов. Около 1666 года И. Ньютон разработал метод флюксий (смотри Флюксий исчисление). Ньютон рассматривал, в частности, две задачи механики: задачу об определении мгновенной скорости движения по известной зависимости пути от времени и задачу об определении пройденного за данное время пути по известной мгновенной скорости. Непрерывные функции времени Ньютон называл флюентами, а скорости их изменения - флюксиями. Таким образом, у Ньютона главными понятиями были производная (флюксия) и неопределённый интеграл (флюента). Он пытался обосновать метод флюксий с помощью теории пределов, которая в то время была развита недостаточно.

В середине 1670-х годов Г. В. Лейбниц разработал удобные алгоритмы дифференциального исчисления. Основными понятиями у Лейбница являлись дифференциал как бесконечно малое приращение функции и определённый интеграл как сумма бесконечно большого числа дифференциалов. Он ввёл обозначения дифференциала и интеграла, термин «дифференциальное исчисление», получил ряд правил дифференцирования, предложил удобную символику. Дальнейшее развитие дифференциального исчисление в 17 веке шло в основном по пути, намеченному Лейбницем; большую роль на этом этапе сыграли работы Я. и И. Бернулли, Б. Тейлора и др.

Следующий этап в развитии дифференциального исчисления связан с работами Л. Эйлера и Ж. Лагранжа (18 век). Эйлер впервые стал излагать дифференциальное исчисление как аналитическую дисциплину, независимо от геометрии и механики. Он вновь использовал в качестве основного понятия дифференциального исчисления производную. Лагранж пытался строить дифференциальное исчисление алгебраически, пользуясь разложениями функций в степенные ряды; он ввёл термин «производная» и обозначения у’ и f’(х). В начале 19 века была в основном решена задача обоснования дифференциального исчисления на основе теории пределов, главным образом благодаря работам О. Коши, Б. Больцано и К. Гаусса. Глубокий анализ исходных понятий дифференциального исчисления был связан с развитием теории множеств и теории функций действительных переменных в конце 19 - начале 20 века.

Лит.: История математики: В 3 т. М., 1970-1972; Рыбников К. А. История математики. 2-е изд. М., 1974; Никольский С. М. Курс математического анализа. 6-е изд. М., 2001: Зорич В. А. Математический анализ: В 2 часть 4-е изд. М., 2002; Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: В 3 т. 5-е изд. М., 2003-2006; Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т. 8-е изд. М., 2003-2006; Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. 7-е изд. М., 2004. Ч. 1. 5-е изд. М., 2004. Ч. 2; Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. 3-е изд. М., 2004. Ч. 1. 2-е изд. М., 2004. Ч. 2; Ильин В. А., Куркина Л. В. Высшая математика. 2-е изд. М., 2005.

Возникает кружок, виднейшими представителями которого были братья Бернулли (Якоб и Иоганн) и Лопиталь . В , используя лекции И. Бернулли, Лопиталь написал первый учебник , излагавший новый метод в применении к теории плоских кривых . Он назвал его Анализ бесконечно малых , дав тем самым и одно из названий новому разделу математики. В основу изложения положено понятие переменных величин, между которыми имеется некоторая связь, из-за которой изменение одной влечёт изменение другой. У Лопиталя эта связь даётся при помощи плоских кривых: если M {\displaystyle M} - подвижная точка плоской кривой, то её декартовы координаты x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} , именуемые абсциссой и ординатой кривой, суть переменные, причём изменение x {\displaystyle x} влечёт изменение y {\displaystyle y} . Понятие функции отсутствует: желая сказать, что зависимость переменных задана, Лопиталь говорит, что «известна природа кривой». Понятие дифференциала вводится так:

Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается переменная величина, называется её дифференциалом… Для обозначения дифференциала переменной величины, которая сама выражается одной буквой, мы будем пользоваться знаком или символом d {\displaystyle d} . … Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается дифференциал переменной величины, называется … вторым дифференциалом.

Эти определения поясняются геометрически, при этом на рис. бесконечно малые приращения изображены конечными. Рассмотрение опирается на два требования (аксиомы). Первое:

Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можно было брать [при упрощении выражений?] безразлично одну вместо другой.

Отсюда получается x + d x = x {\displaystyle x+dx=x} , далее

D x y = (x + d x) (y + d y) − x y = x d y + y d x + d x d y = (x + d x) d y + y d x = x d y + y d x {\displaystyle dxy=(x+dx)(y+dy)-xy=xdy+ydx+dxdy=(x+dx)dy+ydx=xdy+ydx}

Второе требование гласит:

Требуется, чтобы можно было рассматривать кривую линию как совокупность бесконечного множества бесконечно малых прямых линий.

Продолжение каждой такой линии называется касательной к кривой. Исследуя касательную, проходящую через точку M = (x , y) {\displaystyle M=(x,y)} , Лопиталь придаёт большое значение величине

y d x d y − x {\displaystyle y{\frac {dx}{dy}}-x} ,

достигающее экстремальных значений в точках перегиба кривой, отношению же d y {\displaystyle dy} к d x {\displaystyle dx} не придаётся никакого особого значения.

Примечательно нахождение точек экстремума . Если при непрерывном увеличении абсциссы x {\displaystyle x} ордината y {\displaystyle y} сначала возрастает, а затем убывает, то дифференциал d y {\displaystyle dy} сначала положителен по сравнению с d x {\displaystyle dx} , а потом отрицателен.

Но всякая непрерывно возрастающая или убывающая величина не может превратиться из положительной в отрицательную, не проходя через бесконечность или нуль… Отсюда следует, что дифференциал наибольшей и наименьшей величины должен равняться нулю или бесконечности.

Вероятно, эта формулировка небезупречна, если вспомнить о первом требовании: пусть, скажем, y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} , тогда в силу первого требования

2 x d x + d x 2 = 2 x d x {\displaystyle 2xdx+dx^{2}=2xdx} ;

в нуле правая часть равна нулю, а левая нет. Видимо следовало сказать, что d y {\displaystyle dy} можно преобразовать в соответствии с первым требованием так, чтобы в точке максимума d y = 0 {\displaystyle dy=0} . . В примерах все само собой понятно, и лишь в теории точек перегиба Лопиталь пишет, что d y {\displaystyle dy} равен нулю в точке максимума, будучи разделён на d x {\displaystyle dx} .

Далее, при помощи одних дифференциалов формулируются условия экстремума и рассмотрено большое число сложных задач, относящихся в основном к дифференциальной геометрии на плоскости. В конце книги, в гл. 10, изложено то, что теперь называют правилом Лопиталя , хотя и в не совсем обычной форме. Пусть величина ординаты y {\displaystyle y} кривой выражена дробью, числитель и знаменатель которой обращаются в нуль при . Тогда точка кривой с x = a {\displaystyle x=a} имеет ординату y {\displaystyle y} , равную отношению дифференциала числителя к дифференциалу знаменателя, взятому при x = a {\displaystyle x=a} .

По замыслу Лопиталя написанное им составляло первую часть Анализа, вторая же должна была содержать интегральное исчисление, то есть способ отыскания связи переменных по известной связи их дифференциалов. Первое его изложение дано Иоганном Бернулли в его Математических лекциях о методе интеграла . Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.

Указывая на практическую полезность и простоту нового метода Лейбниц писал:

То, что человек, сведущий в этом исчислении, может получить прямо в трёх строках, другие учёнейшие мужи принуждены были искать, следуя сложными обходными путями.

Эйлер

Леонард Эйлер

Перемены, произошедшие за последующие полвека, отражены в обширном трактате Эйлера . Изложение анализа открывает двухтомное «Введение», где собраны изыскания о различных представлениях элементарных функций. Термин «функция» впервые появляется лишь в у Лейбница , однако на первые роли его выдвинул именно Эйлер. Изначальная трактовка понятия функции состояла в том, что функция - это выражение для счёта (нем. Rechnungsausdrϋck ) или аналитическое выражение .

Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств.

Подчёркивая, что «основное различие функций лежит в способе составления их из переменного и постоянных», Эйлер перечисляет действия, «посредством которых количества могут друг с другом сочетаться и перемешиваться; действиями этими являются: сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корней; сюда же следует отнести также решение [алгебраических] уравнений. Кроме этих действий, называемых алгебраическими, существует много других, трансцендентных, как то: показательные, логарифмические и бесчисленные другие, доставляемые интегральным исчислением». Такая трактовка позволяла без труда обращаться с многозначными функциями и не требовала пояснения, над каким полем рассматривается функция: выражение для счёта определено для комплексных значений переменных даже тогда, когда для рассматриваемой задачи это не нужно.

Операции в выражении допускались лишь в конечном числе, а трансцендентное проникало при помощи бесконечно большого числа ∞ {\displaystyle \infty } . В выражениях это число используется наряду с натуральными числами. Напр., считается допустимым такое выражение для экспоненты

e x = (1 + x ∞) ∞ {\displaystyle e^{x}=\left(1+{\frac {x}{\infty }}\right)^{\infty }} ,

в котором лишь поздние авторы видели предельный переход. С аналитическими выражениями производились разнообразные преобразования, позволившие Эйлеру найти представления для элементарных функций в виде рядов, бесконечных произведений и т. д. Эйлер преобразует выражения для счёта так, как это делают в алгебре, не обращая внимания на возможность вычислить значение функции в точке по каждой из написанных формул.

В отличие от Лопиталя Эйлер подробно рассматривает трансцендентные функции и в особенности два наиболее изученных их класса - показательные и тригонометрические. Он обнаруживает, что все элементарные функции могут быть выражены при помощи арифметических действий и двух операций - взятия логарифма и экспоненты .

Сам ход доказательства прекрасно демонстрирует технику использования бесконечно большого. Определив синус и косинус при помощи тригонометрического круга, Эйлер выводит из формул сложения следующее:

(cos ⁡ x + − 1 sin ⁡ x) (cos ⁡ y + − 1 sin ⁡ y) = cos ⁡ (x + y) + − 1 sin ⁡ (x + y) , {\displaystyle (\cos x+{\sqrt {-1}}\sin x)(\cos y+{\sqrt {-1}}\sin y)=\cos {(x+y)}+{\sqrt {-1}}\sin {(x+y)},} 2 cos ⁡ n x = (cos ⁡ x + − 1 sin ⁡ x) n + (cos ⁡ x − − 1 sin ⁡ x) n {\displaystyle 2\cos nx=(\cos x+{\sqrt {-1}}\sin x)^{n}+(\cos x-{\sqrt {-1}}\sin x)^{n}}

Полагая n = ∞ {\displaystyle n=\infty } и z = n x {\displaystyle z=nx} , он получает

2 cos ⁡ z = (1 + − 1 z ∞) ∞ + (1 − − 1 z ∞) ∞ = e − 1 z + e − − 1 z {\displaystyle 2\cos z=\left(1+{\frac {{\sqrt {-1}}z}{\infty }}\right)^{\infty }+\left(1-{\frac {{\sqrt {-1}}z}{\infty }}\right)^{\infty }=e^{{\sqrt {-1}}z}+e^{-{\sqrt {-1}}z}} ,

отбрасывая бесконечно малые величины большего порядка. Используя это и аналогичное выражение, Эйлер получает и свою знаменитую формулу

e − 1 x = cos ⁡ x + − 1 sin ⁡ x {\displaystyle e^{{\sqrt {-1}}x}=\cos {x}+{\sqrt {-1}}\sin {x}} .

Указав различные выражения для функций, которые теперь называют элементарными, Эйлер переходит к рассмотрению кривых на плоскости, начертанным свободным движением руки. По его мнению, не для всякой такой кривой можно отыскать единое аналитическое выражение (см. также Спор о струне). В XIX веке с подачи Казорати это утверждение считалось ошибочным: по теореме Вейерштрасса всякая непрерывная в современном смысле кривая может быть приближенно описана полиномами. На самом деле Эйлера это едва ли убедило, ведь нужно ещё переписать предельный переход при помощи символа ∞ {\displaystyle \infty } .

Изложение дифференциального исчисления Эйлер начинает с теории конечных разностей, за ним в третьей главе следует философское разъяснение о том, что «бесконечно малое количество есть точно нуль», более всего не устроившее современников Эйлера. Затем из конечных разностей при бесконечно малом приращении образуются дифференциалы, а из интерполяционной формулы Ньютона - формула Тейлора . Этот метод в существенном восходит к работам Тейлора (1715 г.). При этом у Эйлера появляется устойчивое отношение d k y d x k {\displaystyle {\frac {d^{k}y}{dx^{k}}}} , которое, однако, рассматривается как отношение двух бесконечно малых. Последние главы посвящены приближенному вычислению при помощи рядов.

В трёхтомном интегральном исчислении Эйлер вводит понятие интеграла так:

Та функция, дифференциал которой = X d x {\displaystyle =Xdx} , называется его интегралом и обозначается знаком S {\displaystyle S} , поставленным спереди.

В целом же эта часть трактата Эйлера посвящена более общей с современной точки зрения задаче об интегрировании дифференциальных уравнений. При этом Эйлер находит ряд интегралов и дифференциальных уравнений, которые приводят к новым функциям, напр., Γ {\displaystyle \Gamma } -функции, эллиптические функции и т. д. Строгое доказательство их неэлементарности было дано в 1830-х годах Якоби для эллиптических функций и Лиувиллем (см. элементарные функции).

Лагранж

Следующим крупным произведением, сыгравшим значительную роль в развитии концепции анализа, явилась Теория аналитических функций Лагранжа и обширный пересказ работ Лагранжа, выполненный Лакруа в несколько эклектической манере.

Желая избавиться от бесконечно малого вовсе, Лагранж обратил связь между производными и рядом Тейлора. Под аналитической функцией Лагранж понимал произвольную функцию, исследуемую методами анализа. Саму функцию он обозначил как , дав графический способ записи зависимости - ранее же Эйлер обходился одними переменными. Для применения методов анализа по мнению Лагранжа необходимо, чтобы функция разлагалась в ряд

f (x + h) = f (x) + p h + q h 2 + … {\displaystyle f(x+h)=f(x)+ph+qh^{2}+\dots } ,

коэффициенты которого будут новыми функциями x {\displaystyle x} . Остаётся назвать p {\displaystyle p} производной (дифференциальным коэффициентом) и обозначить его как f ′ (x) {\displaystyle f"(x)} . Таким образом, понятие производной вводится на второй странице трактата и без помощи бесконечно малых. Остаётся заметить, что

f ′ (x + h) = p + 2 q h + … {\displaystyle f"(x+h)=p+2qh+\dots } ,

поэтому коэффициент q {\displaystyle q} является удвоенной производной производной f (x) {\displaystyle f(x)} , то есть

q = 1 2 ! f ″ (x) {\displaystyle q={\frac {1}{2!}}f""(x)} и т. д.

Такой подход к трактовке понятия производной используется в современной алгебре и послужил основой для создания теории аналитических функций Вейерштрасса .

Лагранж оперировал такими рядами как формальными и получил ряд замечательных теорем. В частности, впервые и вполне строго доказал разрешимость начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений в формальных степенных рядах.

Вопрос об оценке точности приближений, доставляемых частными суммами ряда Тейлора, впервые был поставлен именно Лагранжем: в конце Теории аналитических функций он вывел то, что теперь называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Однако, в противоположность современным авторам, Лагранж не видел нужды в употреблении этого результата для обоснования сходимости ряда Тейлора.

Вопрос о том, действительно ли функции, употребимые в анализе, могут быть разложены в степенной ряд, впоследствии стал предметом дискуссии. Конечно, Лагранжу было известно, что в некоторых точках элементарные функции могут не разлагаться в степенной ряд, однако в этих точках они и недифференцируемы ни в каком смысле. Коши в своём Алгебраическом анализе привёл в качестве контрпримера функцию

f (x) = e − 1 / x 2 , {\displaystyle f(x)=e^{-1/x^{2}},}

доопределённую нулём в нуле. Эта функция всюду гладкая на вещественной оси и в нуле имеет нулевой ряд Маклорена, который, следовательно, не сходится к значению f (x) {\displaystyle f(x)} . Против этого примера Пуассон возразил, что Лагранж определял функцию как единое аналитическое выражение, в примере Коши же функция задана по разному в нуле, и при x ≠ 0 {\displaystyle x\not =0} . Лишь в конце XIX века Прингсхайм доказал, что существует бесконечно дифференцируемая функция, заданная единым выражением, ряд Маклорена для которой расходится. Пример такой функции представляет выражение

Ψ (x) = ∑ k = 0 ∞ cos ⁡ (3 k x) k ! {\displaystyle \Psi (x)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos {(3^{k}x)}}{k!}}} .

Дальнейшее развитие

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление изучает определение, свойства и применение производных функций . Процесс нахождения производной называется дифференцированием . Для заданной функции и точки из области её определения производная в этой точке является способом кодирования мелкомасштабного поведения этой функции вблизи этой точки. Найдя производную функции в каждой точке в области определения, можно определить новую функцию, называемую производной функцией или просто производной от исходной функции. На математическом языке производная является линейным отображением , на входе которого одна функция, а на выходе другая. Это понятие является более абстрактным, чем большинство процессов, изучаемых в элементарной алгебре, где функции обычно имеют на входе одно число, а на выходе другое. Например, если для функции удвоения задать на входе три, на выходе будет шесть; если для квадратичной функции задать на входе три, на выходе будет девять. Производная же может иметь квадратичную функцию в качестве входа. Это означает, что производная берёт всю информацию о функции возведения в квадрат, то есть: при входе два, она даёт на выходе четыре, три преобразует в девять, четыре - в шестнадцать и так далее, и использует эту информацию для получения другой функции. (Производной квадратичной функции является как раз функция удвоения.)

Наиболее распространенным символом для обозначения производной является апострофо-подобный знак, называемый штрихом . Таким образом, производная функции f есть f′ , произносится «f штрих». Например, если f (x ) = x 2 является функцией возведения в квадрат, то f′ (x ) = 2x является её производной, это функция удвоения.

Если входом функции является время, то производная представляет собой изменение по времени. Например, если f является функцией, зависящей от времени, и она даёт на выходе положение мяча во времени, то производная f определяет изменение положения мяча по времени, то есть скорость мяча.

Неопределённый интеграл является первообразной , то есть операцией, обратной к производной. F является неопределённым интегралом от f в том случае, когда f является производной от F . (Это использование прописных и строчных букв для функции и её неопределённого интеграла распространено в исчислении).

Определенный интеграл входной функции и выходных значений есть число, которое равно площади поверхности, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и двумя отрезками прямых линий от графика функции до оси абсцисс в точках выходных значений. В технических терминах определённый интеграл есть предел суммы площадей прямоугольников, называемой суммой Римана .

Примером из физики является вычисление пройденного расстояния при ходьбе в любой момент времени.

D i s t a n c e = S p e e d ⋅ T i m e {\displaystyle \mathrm {Distance} =\mathrm {Speed} \cdot \mathrm {Time} }

Если скорость постоянна, достаточно операции умножения, но если скорость меняется, то мы должны применить более мощный метод вычисления расстояния. Одним из таких методов является приблизительное вычисление путём разбивки времени на отдельные короткие промежутки. Умножая затем время в каждом интервале на какую-либо одну из скоростей в этом интервале и затем суммируя все приблизительные расстояния (сумма Римана), пройденные в каждом интервале, мы получим полное пройденное расстояние. Основная идея состоит в том, что если использовать очень короткие интервалы, то скорость на каждом из них будет оставаться более или менее постоянной. Тем не менее, сумма Римана даёт только приблизительное расстояние. Чтобы найти точное расстояние, мы должны найти предел всех таких сумм Римана.

Если f(x) на диаграмме слева представляет изменение скорости с течением времени, то пройденное расстояние (между моментами a и b ) есть площадь заштрихованной области s .

Для приближённой оценки этой площади возможен интуитивный метод, состоящий в разделении расстояния между a и b на некоторое число равных отрезков (сегментов) длиной Δx . Для каждого сегмента мы можем выбрать одно значение функции f (x ). Назовём это значение h . Тогда площадь прямоугольника с основанием Δx и высотой h даёт расстояние (время Δx умноженной на скорость h ), пройденное в этом сегменте. С каждым сегментом связывается среднее значение функции на нём f(x) =h. Сумма всех таких прямоугольников даёт приближение площади под кривой, которая является оценкой общего пройденного расстояния. Уменьшение Δx даст большее количество прямоугольников и в большинстве случаев будет лучшим приближением, но для получения точного ответа мы должны вычислить предел при Δx стремящемся к нулю.

Символом интегрирования является ∫ {\displaystyle \int } , удлиненная буква S (S означает «сумма»). Определённый интеграл записывается в виде:

∫ a b f (x) d x . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}

и читается: «интеграл от a до b функции f от x по x ». Предложенное Лейбницем обозначение dx предназначено для разделения площади под кривой на бесконечное число прямоугольников, таких, что их ширина Δx является бесконечно малой величиной dx . В формулировке исчисления, основанного на пределах, обозначение

∫ a b … d x {\displaystyle \int _{a}^{b}\ldots \,dx}

должно пониматься как оператор, который принимает на входе функцию и даёт на выходе число, равное площади. dx не является числом и не умножается на f(x) .

Неопределённый интеграл, или первообразная, записывается в виде:

∫ f (x) d x . {\displaystyle \int f(x)\,dx.}

Функции, отличающиеся на константу, имеют те же производные, и, следовательно, первообразная данной функции на самом деле является семейством функций, отличающиеся только константой. Поскольку производная функции y = x ² + C , где C - любая константа, равна y′ = 2x , то первообразная последней определяется по формуле:

∫ 2 x d x = x 2 + C . {\displaystyle \int 2x\,dx=x^{2}+C.}

Неопределённая константа типа C в первообразной известна как постоянная интегрирования .

Теорема Ньютона - Лейбница

Теорема Ньютона - Лейбница, которую также называют основной теоремой анализа утверждает, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными операциями. Точнее, это касается значения первообразных для определённых интегралов. Поскольку, как правило, легче вычислить первообразную, чем применять формулу определённого интеграла, теорема даёт практический способ вычисления определённых интегралов. Она также может быть интерпретирована как точное утверждение о том, что дифференцирование является обратной операцией интегрирования.

Теорема гласит: если функция f непрерывна на отрезке [a , b ] и если F есть функция, производная которой равна f на интервале (a , b ), то:

∫ a b f (x) d x = F (b) − F (a) . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}

Кроме того, для любого x из интервала (a , b )

d d x ∫ a x f (t) d t = f (x) . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).}

Это понимание, сделанное как Ньютоном, так и Лейбницем, которые основывали свои результаты на более ранних трудах Исаака Барроу , было ключом к быстрому распространению аналитических результатов после того, как их работы стали известны. Фундаментальная теорема даёт алгебраический метод вычисления многих определённых интегралов без ограничения процессов, путём нахождения формулы первообразной . Кроме того, возник прототип для решения дифференциальных уравнений . Дифференциальные уравнения связывают неизвестные функции с их производными, они применяются повсеместно во многих науках.

Приложения

Математический анализ широко применяется в физике , информатике , статистике , технике , экономике , бизнесе , финансах , медицине , демографии и других областях, в которых для решения проблемы может быть построена математическая модель , и необходимо найти её оптимальное решение .

В частности, практически все понятия в классической механике и электромагнетизме неразрывно связаны между собой именно средствами классического математического анализа. Например, при известном распределении плотности объекта его масса , моменты инерции , а также полная энергия в потенциальном поле могут быть найдены с помощью дифференциального исчисления. Другой яркий пример применения математического анализа в механике - второй закон Ньютона : исторически сложилось так, что в нём напрямую используется термин «скорость изменения» в формулировке «Сила = масса × ускорение», так как ускорение - производная по времени от скорости или вторая производная по времени от траектории или пространственного положения.

Математический анализ используется также для нахождения приближённых решений уравнений. На практике это стандартный способ решения дифференциальных уравнений и нахождение корней в большинстве приложений. Примерами являются метод Ньютона , метод простой итерации и метод линейной аппроксимации. Например, при расчётах траектории космических аппаратов используется вариант метода Эйлера для аппроксимации криволинейных курсов движения при отсутствии силы тяжести.

Библиография

Энциклопедические статьи

  • // Энциклопедический лексикон : В 17 тт. - СПб. : Тип. А. Плюшара , 1835-1841.
  • // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). - СПб. , 1890-1907.

Учебная литература

Стандартные учебники

На протяжении многих лет в России популярны следующие учебники:

  • Курант, Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в двух томах). Главная методическая находка курса: сначала попросту излагаются основные идеи, а затем им даются строгие доказательства. Написан Курантом в его бытность профессором Геттингенского университета в 1920-х под влиянием идей Клейна , затем в 1930-х перенесён на американскую почву. Русский перевод 1934 г. и его переиздания дает текст по немецкому изданию, перевод 1960-х годов (т. н. 4-ое издание) представляет собой компиляцию из немецкой и американской версии учебника и в связи с этим весьма многословен.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в трёх томах) и задачник.
  • Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.
  • Ляшко И. И. и др. Справочное пособие по высшей математике, т. 1-5.

Некоторые ВУЗы имеют собственные руководства по анализу:

  • МГУ , МехМат:
  • Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по мат. анализу.
  • Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. М.: Наука, 1981. 544 с.
  • Зорич В. А. Математический анализ. Часть II. М.: Наука, 1984. 640 с.
  • Камынин Л. И. Курс математического анализа (в двух томах). М.: Издательство Московского Университета, 2001.
  • В. А. Ильин , В. А. Садовничий , Бл. Х. Сендов . Математический анализ / Под ред.
Рассказать друзьям