Момент силы. Условие равновесия тела, имеющего ось вращения

💖 Нравится? Поделись с друзьями ссылкой

В предыдущем параграфе были выяснены условия равновесия тела при отсутствии вращения. Но как обеспечивается отсутствие вращения тела, т. е. его равновесие, когда на него действуют силы?

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим тело, которое не может совершать поступательного движения, но может поворачиваться или вращаться. Чтобы сделать невозможным поступательное движение тела, его достаточно закрепить в одной точке так, как можно, например, закрепить доску на стене, прибив ее одним гвоздем; поступательное движение такой «пригвожденной» доски становится невозможным, но доска может поворачиваться вокруг гвоздя, который служит ей осью поворота.

Выясним, при каких условиях покоящееся тело с закрепленной осью не будет поворачиваться под действием приложенных к нему сил. Представим себе некоторое тело, к которому в разных точках приложены две силы: (рис. 163, а). Чтобы найти равнодействующую этих сил, перенесем точки их приложения в точку А (рис. 163, б), в которой пересекаются линии действия обеих сил. Построив параллелограмм на силах получим их равнодействующую

Теперь предположим, что в какой-то точке О на линии, вдоль которой направлена равнодействующая проходит закрепленная ось, перпендикулярная плоскости чертежа. Мы можем себе, например, представить, что в точке О сквозь тело проходит гвоздь, вбитый в неподвижную стену. Тело в этом случае будет находиться в покое, потому что равнодействующая уравновешивается силой реакции (упругости) со стороны закрепленной оси (гвоздя): обе они направлены вдоль одной и той же прямой, равны по абсолютной величине и противоположны по направлению.

Предположим теперь, что одна из сил, например перестала действовать, так что тело подвергается действию только одной силы (рис. 163, в). Из рисунка видно, что эта сила заставит тело вращаться вокруг оси О по часовой стрелке. Если, наоборот, устранить

силу то оставшаяся сила вызовет вращение против часовой стрелки (рис. 163, г). Значит, каждая из сил обладает вращающим действием, причем эти действия характеризуются противоположными направлениями. Но когда обе силы действуют совместно, их вращающие действия взаимно друг друга компенсируют: вместе они поворота не вызывают. Поэтому следует считать, что, хотя силы сами по себе различны как по величине, так и по направлению, их вращающие действия одинаковы, но противоположны по направлению.

Попытаемся найти величину, которая характеризует вращающее действие силы. Мы пока знаем только, что она должна иметь одинаковые численные значения для обеих сил:

Обратимся к рисунку Силы неодинаковы по абсолютным значениям: больше Зато расстояние от точки О (оси) до линии действия силы меньше расстояния от оси до линии действия силы Таким образом, но

Быть может, равны между собой произведения

Если это так, то можно будет сказать, что величина, равная произведению силы на длину перпендикуляра, опущенного с закрепленной оси на линию действия силы, как раз и характеризует вращающее действие силы.

Нетрудно доказать, что равенство

действительно выполняется. Для этого проведем на рисунке 163, д вспомогательные прямые ОС и ОВ, параллельные силам подобия треугольников АВО и следует, что

Отсюда, учитывая, что АВ = ОС, получаем:

Рассмотрим теперь треугольники ОВК и Эти треугольники подобны, как прямоугольные с равными углами при вершинах С и В (они дополняют равные углы АСО и АВО до 180°). Из их подобия следует, что

Сравнивая пропорции (1) и (2), получаем:

Сделанное выше предположение оправдалось.

Приведенное довольно длинное геометрическое рассуждение позволило нам найти величину, которая одинакова для обеих сил и характеризует вращающее действие силы. Такой величиной является произведение силы на расстояние от линии ее. действия до оси вращения. Величина эта носит несколько странное название - момент силы или вращающий момент относительно оси, проходящей через точку О.

11.12.2014

Урок 26 (10 класс)

Тема. Момент силы. Условия равновесия тела, которое имеет ось вращения.

Равенство нулю суммы внешних сил, действующих на твердое тело, необходимо для его равновесия, но недостаточно. В этом легко убедиться. Приложите к доске, лежащей на столе, в различных точках две равные по модулю и противоположно направленные силы так, как показано на рисунке 7.2.

Сумма этих сил равна нулю: . Но доска, тем не менее, будет поворачиваться. Точно так же две одинаковые по модулю и противоположно направленные силы поворачивают руль велосипеда или автомобиля (рис.7.3 ). Почему так происходит, понять нетрудно. Ведь любое тело находится в равновесии, когда сумма всех сил, действующих на каждый его элемент, равна нулю. Но если сумма внешних сил равна нулю, то сумма всех сил, приложенных к каждому элементу тела, может быть не равна нулю. В этом случае тело не будет находиться в равновесии. В рассмотренных примерах доска и руль потому и не находятся в равновесии, что сумма всех сил, действующих на отдельные элементы этих тел, не равна нулю.

Выясним, какое же еще условие для внешних сил, кроме равенства нулю их суммы, должно выполняться, чтобы твердое тело находилось в равновесии. Для этого воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии.
Найдем, например, условие равновесия стержня, шарнирно закрепленного на горизонтальной оси в точке О (рис.7.4 ). Это простое устройство, как вам известно из курса физики 7 класса, представляет собой рычаг. Пусть к рычагу приложены перпендикулярно стержню силы и . В частности, это могут быть силы натяжения нитей, к концам которых прикреплены грузы. Кроме сил и на рычаг действует направленная вертикально вверх сила реакции со стороны оси рычага. При равновесии рычага сумма всех трех сил равна нулю:

Вычислим работу, которую совершают внешние силы при повороте рычага на очень малый угол . Точки приложения сил и пройдут пути s 1 =BB 1 и s 2 =CC 1 (дуги BB 1 и CC 1 при малых углах можно считать прямолинейными отрезками). РаботаA 1 =F 1 s 1 силы положительна, потому что точка B перемещается по направлению действия силы, а работа A 2 =-F 2 s 2 силы отрицательна, поскольку точка C движется в сторону, противоположную направлению силы . Сила работы не совершает, так как точка ее приложения не перемещается.
Пройденные пути s 1 и s 2 можно выразить через угол поворота рычага , измеренный в радианах: и .
Учитывая это, перепишем выражения для работы так:

Радиусы ВО и СО дуг окружностей, описываемых точками приложения сил и , являются перпендикулярами, опущенными из оси вращения на линии действия этих сил.

Кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы называют плечом силы .

Будем обозначать плечо силы буквой d . Тогда - плечо силы , а - плечо силы . При этом выражения (7.4) примут вид

Из формул (7.5) видно, что при заданном угле поворота тела (стержня) работа каждой приложенной к этому телу силы равна произведению модуля силы на плечо взятому со знаком «+» или «-». Это произведение будем называть моментом силы.
Моментом силы относительно оси вращения тела называется произведение модуля силы на ее плечо. Момент силы может быть положительным или отрицательным.
Момент силы обозначим буквой M :

Будем считать момент силы положительным , если она стремится повернуть тело против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой стрелке. Тогда момент силы равен M 1 =F 1 d 1 (см. рис. 7.4), а момент силы равен M 2 =-F 2 d 2 . Следовательно, выражения (7.5) для работы можно переписать в виде

а полную работу внешних сил выразить формулой:

Когда тело приходит в движение, его кинетическая энергия увеличивается. Для увеличения кинетической энергии внешние силы должны совершить работу. Согласно уравнению (7.7) ненулевая работа может быть совершена лишь в том случае, если суммарный момент внешних сил отличен от нуля. Если же суммарный момент внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то работа не совершается и кинетическая энергия тела не увеличивается (остается равной нулю), следовательно, тело не приходит в движение. Равенство

и есть второе условие, необходимое для равновесия твердого тела.

При равновесии твердого тела сумма моментов всех внешних сил, действующих на него относительно любой оси, равна нулю.

Итак, в случае произвольного числа внешних сил условия равновесия абсолютно твердого тела следующие:

Если же тело не абсолютно твердое, то под действием приложенных к нему внешних сил оно может и не оставаться в равновесии, хотя сумма внешних сил и сумма их моментов относительно любой оси равна нулю. Это происходит потому, что под действием внешних сил тело может деформироваться и сумма всех сил, действующих на каждый его элемент, в этом случае не будет равна нулю.
Приложим, например, к концам резинового шнура две силы, равные по модулю и направленные вдоль шнура в противоположные стороны. Под действием этих сил шнур не будет находиться в равновесии (шнур растягивается), хотя сумма внешних сил равна нулю и нулю равна сумма их моментов относительно оси, проходящей через любую точку шнура.
Условия (7.9) являются необходимыми и достаточными для равновесия твердого тела. Если они выполняются, то твердое тело находится в равновесии, так как сумма сил, действующих на каждый элемент этого тела, равна нулю.

Домашнее задание

1. Е.В. Коршак, А.И. Ляшенко, В.Ф. Савченко. Физика. 10 класс, «Генеза», 2010. Читать §24, 25 (с.92-96).

2. Ответить на вопросы:

Что называется моментом силы?

Какие условия необходимы и достаточны для равновесия твердого тела?


Похожая информация.


1. Что изучают в статике.

2. Равновесие тел при отсутствии вращения.

3. Равновесие тел с закрепленной осью вращения. Момент силы. Правило моментов. Правило рычага.

4. Виды равновесия тел (устойчивое и неустойчивое). Центр тяжести.

1. Мы уже знаем, что законы Ньютона позволяют узнать, какие ускорения получают тела под действием приложенных к ним сил. Но очень часто бывает важно знать, при каких условиях тела, на которые могут действовать различные силы, не получают ускорений. О таких телах говорят, что они находятся в состоянии равновесия. В таком состоянии, в частности, находятся покоящиеся тела. Знать условия, при которых тела находятся в покое, очень важно для практики, например при постройке зданий, мостов, всевозможных опор, подвесов, при изготовлении машин, приборов и т.д. Для Вас этот вопрос, также не менее важен! Но основами равновесия в спорте более подробно занимается такая наука, как биомеханика, изучением которой вы займетесь на третьем курсе.

А механика занимается более общими вопросами. Та часть механики, в которой изучается равновесие твердых тел, называется статикой. Известно, что всякое тело может двигаться поступательно и, кроме того, вращаться или поворачиваться вокруг какой-нибудь оси. Чтобы тело находилось в покое, оно не должно ни двигаться поступательно, ни вращаться или поворачиваться вокруг какой-нибудь оси. Рассмотрим условия равновесия тел для этих двух видов возможного движения по отдельности. А выяснить, какие именно условия обеспечивают равновесие тел, помогут нам законы Ньютона.

2. Равновесие тел при отсутствии вращения. При поступательном движении тела можно рассматривать движение только одной точки тела -его центра масс. При этом мы должны считать, что в центре масс сосредоточена вся масса тела и к нему приложена равнодействующая всех сил, действующих на тело. (Сила, которая одна может сообщить телу такое же ускорение, как и все одновременно действующие на него силы, вместе взятые, называется равнодействующей этих сил).

Из второго закона Ньютона следует, что ускорение этой точки равно нулю, если геометрическая сумма всех приложенных к ней сил -равнодействующая этих сил - равна нулю. Это и есть условие равновесия тела при отсутствии его вращения.

Чтобы тело, которое может двигаться поступательно (без вращения), находилось в равновесии, необходимо, чтобы геометрическая сумма сил, приложенных к телу, была равна нулю. Но если геометрическая сумма сил равна нулю, то и сумма проекций векторов этих сил на любую ось тоже равна нулю. Поэтому условие равновесия тела можно сформулировать и так: чтобы невращающееся тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы сумма приложенных к телу сил на любую ось была равна нулю.

В равновесии, например, находится тело, к которому приложены две равные силы, действующие вдоль одной прямой, но направленные в противоположные стороны (рис.1).

Состояние равновесия – это не обязательно состояние покоя. Из второго закона Ньютона следует, что, когда равнодействующая сил, приложенных к телу, равна нулю, тело может двигаться прямолинейно и равномерно. При таком движении тело тоже находится в состоянии равновесия.

Например, парашютист, после того как он начал падать с постоянной скоростью, находится в состоянии равновесия. На рисунке 1 силы приложены к телу не в одной точке. Но важна не точка приложения силы, а прямая вдоль которой она действует. Перенос точки приложения силы вдоль линии ее действия ничего не изменяет ни в движении тела, ни в состоянии равновесия. Ясно, например, что ничего не изменится, если вместо того чтобы тянуть вагонетку, ее станут толкать. Если равнодействующая сил, приложенных к телу, не равна нулю, то, для того чтобы тело находилось в состоянии равновесия, к нему должна быть приложена добавочная сила, равная по модулю равнодействующей, но противоположная ей по направлению.

Эта сила называется уравновешивающей.

3. Равновесие тел с закрепленной осью вращения. Момент силы. Правило моментов. Правило рычага. Пара сил.

Итак, условия равновесия тела при отсутствии вращения выяснены. Но как обеспечивается отсутствие вращения тела. Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим тело, которое не может совершать поступательного движения, но может поворачиваться или вращаться. Чтобы сделать невозможным поступательное движение тела, его достаточно закрепить в одной точке так, как можно, например, закрепить доску на стене, прибив её одним гвоздем; поступательное движение такой доски становится невозможным, но доска может поворачиваться вокруг гвоздя, который служит ей осью вращения.

Теперь выясним, какие силы не могут и какие могут вызвать поворот (вращение) тела с закрепленной осью вращения. Рассмотрим, некоторое тело (см.рис.2), которое может поворачиваться, вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа. Из этого рисунка видно, что силыF 1 ,F 2 иF 3 не вызовут поворота тела. Линии их

действия проходят через ось вращения. Любая такая сила будет уравновешена силой реакции закрепленной оси. Поворот (или вращение) могут вызвать лишь такие силы, линии, действия которых не проходят через ось вращения. Сила F 1 , например, приложенная к телу так, как показано на рисунке 3, заставит тело повернуться по часовой стрелке, сила F 2 вызовет поворот тела против часовой стрелки.

Чтобы сделать поворот иди вращение невозможным, нужно, очевидно, приложить к телу по крайней мере две силы: одну, вызывающую поворот по часовой стрелке, другую - против часовой стрелки. Но эти две силы могут быть и неравны друг другу (по модулю). Например, сила F 2 (см. рис.4) вызывает поворот тела против часовой стрелки.

Как показывает опыт, ее можно уравновесить силой F 1 , вызывающей поворот тела по часовой стрелке, но по модулю меньшей чем сила F 2 . Значит, у этих двух неодинаковых по модулю сил одинаковое, так сказать "вращающее действие". Что же у них общего, что для них одинаково? Опыт показывает,

что в этом случае одинаково произведение модуля силы на расстояние от оси вращения до линии действия силы (слово "расстояние" здесь означает длину перпендикуляра, опущенного из центра вращения на направление действия силы). Это расстояние называется плечом силы. Плечо силы F 1 - это d 1 , плечо силы f 2 - это d 2 . F 1 d 1 = F 2 d 2 ;

M = |f | d Итак, "вращающее действие" силы характеризуется произведением модуля силы на её плечо. Величина, равная произведению модуля силыF на её плечо d, называетсямоментом силы относительно оси вращения. Слова "относительно оси" в определении момента необходимы потому что, если, не изменяя ни модуля силы, ни её направления, перенести ось вращения, из точки О в другую точку, то изменится плечо силы, а значит и момент силы. Момент силы характеризует вращательное действие этой силы и во вращательном движении играет ту же роль, что и сила в поступательном движении.

Момент силы зависит от двух величин: от модуля самой силы и от ее плеча. Один и тот же момент силы может быть создан малой силой, плечо которой велико, и большой силой с малым плечом. Если, например, пытаться закрыть дверь, толкая ее поблизости от петель, то этому с успехом сможет противодействовать ребёнок, который догадается толкать ее в другую сторону, приложив силу поближе к краю, и дверь останется в покое. Для новой величины - момента силы – нужно найти единицу. За единицу момента силы в СИ принят момент силы в 1Н, линия действия которой отстоит от оси вращения на 1м. Эту единицу называют ньютон-метром (Н м).

Моментам сил, вращающих тело по часовой стрелке, принято приписывать положительный знак, а против часовой стрелки -отрицательный.

Тогда моменты сил F 1 иF 2 относительно оси О имеют противоположные знаки и их алгебраическая сумма равна нулю. Таким образом, мы можем написать условие равновесия тела с закрепленной осью: F 1 d 1 =F 2 d 2 или – F 1 d 1 +F 2 d 2 =0, М 1 +М 2 =0.

Следовательно, тело имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех действующих на тело сил относительно данной оси равна нулю, т.е. если сумма моментов сил, действующих на тело по часовой стрелке, равна сумме моментов сил действующих на тело против часовой стрелки.

Это условие равновесия тел с неподвижной осью вращения называют правилом моментов .

Рычаги. Правило рычага

Нетрудно понять, что из правила моментов следует знаменитое правило рычага.

Рычагом называют имеющее неподвижную ось вращения твердое тело, на которое действуют силы, стремящиеся повернуть его вокруг этой оси. Различают рычаги первого и второго года. Рычагом первого рода называют такой рычаг, ось вращения которого расположена между точками приложения сил, а сами силы направлены в одну и ту же сторону (см.рис. 5). Примерами рычагов первого рода могут служить коромысло равноплечих весов, железнодорожный шлагбаум, колодезный журавль, ножницы и т.д.

Рычагом второго рода называют такой рычаг, ось вращения которого расположена по одну сторону от точек приложения сил, а сами силы направлены противоположно друг другу (см. рис. 6) Примерами рычагов второго рода являются гаечные ключи, различные педали, щипцы для раскалывания орехов, двери и т.д. Согласно правилу моментов, рычаг (любого рода), урав-новешен только тогда, когда М 1 =М 2 . Поскольку М 1 =F 1 d 1 и М 2 =F 2 d 2 , получаем F 1 d 1 =F 2 d 2 . Из последней

формулы следует, что F 1 /F 2 =d 1 /d 2 . Рычаг находится в равновесии, когда действующие на него силы обратно пропорциональны их плечам. Но это не что иное, как другое выражение правила моментов: F 1 /F 2 =d 1 /d 2 . Из последней формулы видно, чтоcпомощью рычага можно получить выигрыш силе тем больший, чем больше соотношение плеч. Это широко используют на практике.

Пара сил. Две равные по модулю антипараллельные силы, приложенные к телу в разных точках, называют парой сил. Примерами пары сил могут служить силы, которые приложены к рулевому колесу автомобиля, электрические силы, действующие на диполь магнитные силы, действующие на магнитную стрелку и т.д. (см.рис 7).

Пара сил не имеет равнодействующей, т.е. совместное действие этих сил нельзя заменить действием одной силы. Поэтому пара сил не может вызвать поступательное движение тела, а вызывает только его вращение. Если при повороте тела под действием пары сил направления этих сил не изменяются, то поворот тела происходит до тех пор, пока обе силы не окажутся действующими противоположно друг другу вдоль прямой, проходящей через ось вращения тела.

Пусть на тело, имеющее закрепленную ось вращения О, действует пара сил f иf (см. рис.8). Моменты этих сил M 1 =|f |d 1 <0 и M 2 =|f | d 2 <0. Сумма моментов M 1 +M 2 =|f|(d 1 +d 2)= =|f|d0, следовательно, тело не находится в равновесии. Кратчайшее расстояние d=d 1 +d 2 между параллельными прямыми,

вдоль которых действуют силы, образующие пару сил, называют пле­чом пары сил; M=|f|d- это момент пары сил. Следовательно, момент пары сил равен произведению мо­дуля одной из сил этой пары на плечо пары независимо от положения оси вращения тела при условии, что эта ось перпендикулярна плоскости, в которой находится пара сил.

Если пара сил действует на тело, не имеющее закрепленную ось вращения, она вызывает вращение этого тела вокруг оси, отходящей через центр масс данного тела.

4. Виды равновесия тел.

Если тело находится в равновесии, то это значит, что сумма приложенных к нему сил равна нулю и сумма моментов этих сил относительно оси вращения также равна нулю. Но возникает вопрос: а устойчиво ли равновесие? (F = 0,M = 0).

С первого взгляда видно, например, что положение равновесия шарика на вершине выпуклой подставки неустойчиво: малейшее отклонение шарика от его равновесного положения приведёт к тому, что он скатится вниз. Поместим тот же шарик на вогнутой подставке. Его не так-то просто заставить покинуть свое место. Равновесие шарика можно считать устойчивым.

В чём же секрет устойчивости? В рассмотренных нами случаях шарик находится в равновесии: сила тяжестиf т, равна по модулю противоположно направленной силе упругости (силе реакции)N со стороны опоры. Всё дело, оказывается, именно в том малейшем отклонении, о котором мы упоминали. На рисунке 9 видно, что как только шарик на выпуклой подставке покинул свое место, сила тяжести f т перестаёт уравновешиваться силойN со стороны опоры (силаN всегда направлена

перпендикулярно поверхности соприкосновения шарика и подставки). Равнодействующая силы тяжести f т и силы реакции опорыN , т.е. сила F, направлена так, что шарик ещё больше удалится от положения равновесия. Иное дело на вогнутой подставке (рис.10). При малом отклонении от первоначального положения здесь тоже нарушается равновесие. Сила упругости со стороны опоры и здесь уже не будет уравновешивать силу тяжести. Но теперь равнодействующая этих силF T направлена так, что тело вернётся в прежнее положение. В этом и состоит условие устойчивости равновесия.

Равновесие тела устойчиво, если при малом отклонении равновесного положения равнодействующая сил, приложенных к телу, возвращает его к положению равновесия.

Равновесие неустойчиво, если при малом отклонении тела от положения равновесия равнодействующая сил, приложенных к телу, удаляет его от этого положения.

Это справедливо и для тела, имеющего ось вращения. В качестве примера такого тела рассмотрим обыкновенную линейку, укрепленную на стержне, проходящем через отверстие вблизи ее конца. Из рисунка 11а видно, что положение линейки устойчиво. Если же подвесить ту же линейку так, как показано на другом рисунке 11б, то равновесие линейки будет неустойчивым.

Устойчивое и неустойчивое положения равновесия друг от друга ещё и положением центра тяжести тела.

Центром тяжести твёрдого тела, называют точку приложения равнодействующей всех сил тяжести, действующих на каждую частицу этого тела. Центр тяжести твёрдого тела совпадает с его центром масс. Поэтому центр масс часто называют центром тяжести. Однако между этими понятиями есть отличие. Понятие центра тяжести справедливо только для твёрдого тела, находящегося в однородном поле сил тяжести, а понятие центра масс не связано ни cкаким силовым полем и справедливо для любого тела (механической системы).

Итак, для устойчивого равновесия центр тяжести тела должен находиться в самом низком из возможных для него положений.

Равновесие же тела, имеющего ось вращения, устойчиво при условии, что его центр тяжести расположен ниже оси вращения.

Возможно и такое положение равновесия, когда отклонения от него не приводит к каким-либо изменениям в состоянии тела. Таково, например, положение шарика на плоской опоре или линейки, подвешенной на стержне, проходящем через её центр тяжести. Такое равновесие называется безразличным.

Мы рассмотрели условие равновесия тел, имеющих точку опоры или ось опоры. Не менее важен случай, когда опора приходится не на точку (ось), а на некоторую поверхность.

Тело, имеющее площадь опоры, находится в равновесии; когда вертикальная прямая, проходящая через центр тяжести тела, не выходит за пределы площади опоры этого тела. Различают те же случаи равновесия тела, что упоминались выше. Однако равновесие тела, имеющего площадь опоры, зависит не только от расстояния его центра тяжести от Земли, но и от расположения и размеров площади опоры этого тела. Для того, чтобы можно было одновременно учитывать и высоту центра тяжести тела над Землёй, и значение его площади опоры, было введено понятие угол устойчивости тела.

Углом устойчивости называют угол, образованный горизонтальной плоскостью и прямой, соединяющей центр тяжести тела с краем площади опоры. Как видно из рисунка 12, угол устойчивости уменьшается, если каким-либо способом центр тяжести тела понижают (например, делают нижнюю часть тела более массивной или часть тела зарывают в Землю, т.е. создают фундамент, а также увеличивают площадь опоры тела). Чем меньше угол устойчивости, тем устойчивее равновесие тела.

Вывод: для того чтобы какое-либо тело находилось в равновесии, необходимо одновременное выполнение двух условий: во-первых, векторная сумма всех приложенных к телу сил должна быть равна нулю и, во-вторых, нулю должна быть равна и алгебраическая сумма моментов всех действующих на тело сил относительно произвольной неподвижной оси.

Цели занятия:

Образовательные. Изучить два условия равновесия тел, виды равновесия (устойчивое, неустойчивое, безразличное). Выяснить при каких условиях тела более устойчивы.

Развивающие: Способствовать развитию познавательного интереса к физике, развивать умения проводить сравнения, обобщать, выделять главное, делать выводы.

Воспитательные: воспитывать дисциплинированность, внимание, умения высказывать свою точку зрения и отстаивать ее.

План занятия:

1. Актуализация знаний

2. Что такое статика

3. Что такое равновесие. Виды равновесия

4. Центр масс

5. Решение задач

Ход занятия:

1.Актуализация знаний.

Преподаватель: Здравствуйте!

Студенты: Здравствуйте!

Преподаватель: Мы продолжаем с вами говорить о силах. Перед вами тело неправильной формы (камень), подвешенное на нити и прикрепленное к наклонной плоскости. Какие силы действуют на это тело?

Студенты: На тело действуют: сила натяжения нити, сила тяжести, сила, стремящаяся оторвать камень, противоположная силе натяжения нити, сила реакции опоры.

Преподаватель: Силы нашли, что делаем дальше?

Студенты: Пишем второй закон Ньютона.

Ускорение отсутствует, поэтому сумма всех сил равна нулю.

Преподаватель: О чем это говорит?

Студенты: Это говорит о том, что тело находится в состоянии покоя.

Преподаватель: Или же можно сказать, что тело находится в состоянии равновесия. Равновесие тела - это состояние покоя этого тела. Сегодня мы будем говорить о равновесии тел. Запишите тему занятия: "Условия равновесия тел. Виды равновесия."

2. Формирование новых знаний и способов действия.

Преподаватель: Раздел механики, в котором изучается равновесие абсолютно твердых тел, называется статикой. Вокруг нас нет ни одного тела, на которое не действовали бы силы. Под действием этих сил тела деформируются.

При выяснении условий равновесия деформированных тел необходимо учитывать величину и характер деформации, что усложняет выдвинутую задачу. Поэтому для выяснения основных законов равновесия для удобства ввели понятие абсолютно твердого тела.



Абсолютно твердое тело - это тело, у которого деформации, возникающие под действием приложенных к нему сил, пренебрежимо малы. Запишите определения статики, равновесия тел и абсолютно твердого тела с экрана (слайд 2).

И то, что мы с вами выяснили, что тело находится в равновесии, если геометрическая сумма всех сил, приложенных к нему, равна нулю является первым условием равновесия. Запишите 1 условие равновесия:

Если сумма сил равна нулю, то равна нулю и сумма проекций этих сил на оси координат. В частности, для проекций внешних сил на ось Х можно записать .

Равенство нулю суммы внешних сил, действующих на твердое тело, необходимо для его равновесия, но недостаточно. Например, к доске в различных точках приложили две равные по модулю и противоположно направленные силы. Сумма этих сил равна нулю. Доска при этом будет находиться в равновесии?

Студенты: Доска будет поворачиваться, например как руль велосипеда или автомобиля.

Преподаватель: Верно. Точно так же две одинаковые по модулю и противоположно направленные силы поворачивают руль велосипеда или автомобиля. Почему это происходит?

Студенты: ???

Преподаватель: Любое тело находиться в равновесии, когда сумма всех сил, действующих на каждый его элемент, равна нулю. Но если сумма внешних сил равна нулю, то сумма всех сил, приложенных к каждому элементу тела, может быть не равна нулю. В этом случае тело не будет находиться в равновесии. Поэтому нам нужно выяснить еще одно условие равновесия тел. Для этого проведем эксперимент. (Вызываются двое студентов). Один из студентов прилагает силу ближе к оси вращения двери, другой учащийся - ближе к ручке. Они прилагают силы в разные стороны. Что произошло?

Студенты: Выиграл тот, который прилагал силу ближе к ручке.

Преподаватель: Где находится линия действия силы, приложенной первым учеником?

Студенты: Ближе к оси вращения двери.

Преподаватель: Где находится линия действия силы, приложенной вторым учеником?

Студенты: Ближе к дверной ручке.

Преподаватель: Что мы еще можем заметить?

Студенты: Что расстояния от оси вращения до линий приложения сил разные.

Преподаватель: Значит от чего еще зависит результат действия силы?

Студенты: Результат действия силы зависит от расстояния от оси вращения до линии действия силы.

Преподаватель: Чем является расстояние от оси вращения до линии действия силы?

Студенты: Плечом. Плечо - это перпендикуляр, проведенный из оси вращения на линию действия этой силы.

Преподаватель: Как относятся между собой силы и плечи в данном случае?

Студенты: По правилу равновесия рычага, силы действующие на него обратно пропорциональны плечам этих сил. .

Преподаватель: Что такое произведение модуля силы, вращающей тело, на ее плечо?

Студенты: Момент силы.

Преподаватель: Значит момент силы, приложенной первым студентам равен , а момент силы, приложенной вторым студентам равен

Теперь мы можем сформулировать второе условие равновесия: Твердое тело находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов внешних сил, действующих на него относительно любой оси, равна нулю.(слайд 3)

Введем понятие центра тяжести. Центр тяжести - это точка приложения равнодействующей силы тяжести (точка, через которую проходит равнодействующая всех параллельных сил тяжести, действующих на отдельные элементы тела). Есть еще понятие центра масс.

Центр масс системы материальных точек называется геометрическая точка, координаты которой определяются по формуле:

; так же для .

Центр тяжести совпадает с центром масс системы, если эта система находится в однородном гравитационном поле.

Посмотрите на экран. Попробуйте найти центр тяжести данных фигур. (слайд 4)

(Продемонстрировать с помощью бруска с углублениями и горками и шарика виды равновесия.)

На слайде 5 вы видите, то же что и видели на опыте. Запишите условия устойчивости равновесия со слайдов 6,7,8:

1. Тела находятся в состоянии устойчивого равновесия, если при малейшем отклонении от положения равновесия возникает сила или момент силы, возвращающие тело в положение равновесия.

2.Тела находятся в состоянии неустойчивого равновесия, если при малейшем отклонении от положения равновесия возникает сила или момент силы, удаляющие тело от положения равновесия.

3. Тела находятся в состоянии безразличного равновесия, если при малейшем отклонении от положения равновесия не возникает ни сила, ни момент силы, изменяющие положение тела.

Теперь посмотрите на слайд 9. Что вы можете сказать об условиях устойчивости во всех трех случаях.

Студенты: В первом случае, если точка опоры выше чем центр тяжести, то равновесие устойчивое.

Во втором случае, если точка опоры совпадает с центром тяжести, то равновесие безразличное.

В третьем случае, если центр тяжести выше чем точка опоры, равновесие неустойчивое.

Преподаватель: А теперь рассмотрим тела, имеющие площадь опоры. Под площадью опоры понимают площадь соприкосновения тела с опорой. (слайд 10).

Рассмотрим как изменяется положение линии действия силы тяжести по отношению к оси вращения тела при наклоне тела имеющего площадь опоры. (слайд 11)

Обратите внимание, что при повороте тела положение центра тяжести изменяется. А любая система всегда стремится к понижению положения центра тяжести. Так наклоненные тела будут находиться в состоянии устойчивого равновесия, пока линия действия силы тяжести будет проходить через площадь опоры. Посмотрите на слайд 12.

Если при отклонении тела, имеющего площадь опоры, происходит повышение центра тяжести, то равновесие будет устойчивым. При устойчивом равновесии вертикальная прямая, проходящая через центр тяжести, всегда будет проходить через площадь опоры.

Два тела, у которых одинаковы вес и площадь опоры, но разная высота, имеют разный предельный угол наклона. Если этот угол превысить, то тела опрокидываются. (слайд 13)

При более низком положении центра тяжести необходимо затратить большую работу для опрокидывания тела. Следовательно работа по опрокидыванию может служить мерой его устойчивости.(слайд 14)

Так наклоненные сооружения находятся в положении устойчивого равновесия, потому что линия действия силы тяжести проходит через площадь их опоры. Например, Пизанская башня.

Покачивание или наклон тела человека при ходьбе также объясняется стремлением сохранить устойчивое положение. Площадь опоры определяется площадью внутри линии, проведенной вокруг крайних точек касания телом опоры. когда человек стоит. Линия действия силы тяжести проходит через опору. Когда человек поднимает ногу, то, чтобы сохранить равновесие, он наклоняется перенося линию действия силы тяжести в новое положение таким образом, чтобы она вновь проходила через площадь опоры. (слайд 15)

Для устойчивости различных сооружений увеличивают площадь опоры или понижают положение центра тяжести сооружения, изготавливая мощную опору, или и увеличивают площадь опоры и, одновременно, понижают центр тяжести сооружения.

Устойчивость транспорта определяется теми же условиями. Так, из двух видов транспорта автомобиля и автобуса на наклонной дороге более устойчив автомобиль.

При одинаковом наклоне данных видов транспорта у автобуса линия силы тяжести проходит ближе к краю площади опоры.

Решение задач

Задача: Материальные точки массами m, 2m, 3m и 4m расположены в вершинах прямоугольника со сторонами 0,4м и 0,8 м. Найти центр тяжести системы этих материальных точек.

х с -? у с -?

Найти центр тяжести системы материальных точек - значит найти его координаты в системе координат XOY. Совместим начало координат XOY с вершиной прямоугольника, в котором расположена материальная точка массой m , а оси координат направим вдоль сторон прямоугольника. Координаты центра тяжести системы материальных точек равны:

Здесь -координата на оси ОХ точки массой . Как следует из чертежа, , ведь эта точка расположена в начале координат. Координата тоже равна нулю, координаты точек массами на оси ОХ одинаковы и равны длине стороны прямоугольника . Подставив значения координат получим

Координата на оси OY точки массой равна нулю, =0. Координаты точек массами на этой оси одинаковы и равны длине стороны прямоугольника . Подставив эти значения получим

Контрольные вопросы:

1. Условия равновесия тела?

1 условие равновесия:

Твердое тело находится в равновесии, если геометрическая сумма внешних сил, приложенных к нему, равна нулю.

2 Условие равновесия: Твердое тело находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов внешних сил, действующих на него относительно любой оси, равна нулю.

2. Назовите виды равновесия.

Тела находятся в состоянии устойчивого равновесия, если при малейшем отклонении от положения равновесия возникает сила или момент силы, возвращающие тело в положение равновесия.

Тела находятся в состоянии неустойчивого равновесия, если при малейшем отклонении от положения равновесия возникает сила или момент силы, удаляющие тело от положения равновесия.

Тела находятся в состоянии безразличного равновесия, если при малейшем отклонении от положения равновесия не возникает ни сила, ни момент силы, изменяющие положение тела.

Домашнее задание:

Список использованной литературы:

1. Физика. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / Г. Я. Мякишев, Б. Б. Буховцев, Н. Н. Сотский; под ред. В. И. Николаева, Н. А. Парфентьевой. - 19-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 366 с.: ил.
2. Марон А.Е., Марон Е.А. «Сборник качественных задач по физике 10 кл, М.: Просвещение, 2006
3. Л.А. Кирик, Л.Э.Генденштейн, Ю.И.Дик. Методические материалы для преподавателя 10 класс,М.:Илекса, 2005.-304с:, 2005
4. Л.Э.Генденштейн, Ю.И.Дик. Физика 10 класс.-М.: Мнемозина,2010

Данная тема посвящена моменту силы и условиям равновесия твердого тела.

Известно, что основным признаком взаимодействия тел в динамике является возникновение ускорений. Однако часто бывает нужно знать, при каких условиях тело, на которое действует несколько сил, не движется с ускорением, а покоится или же движется равномерно и прямолинейно.

Раздел механики, в котором изучаются условия равновесия материальной точки и абсолютно твердого тела, называется статикой .

Абсолютно твердое тело - это тело, размеры и форму которого можно считать неизменной.

Все опытные факты убеждают в том, что любое тело покоится или движется равномерно и прямолинейно , если равнодействующая всех сил, действующих на него, равна нулю .

Таким образом первое условие равновесия звучит так: векторная сумма приложенных к телу сил должна быть равна нулю.

Из этого условия следует, что и сумма проекций всех сил на любое направление тоже должна быть равна нулю.

Фактически последние три равенства эквивалентны одному векторному равенству, но с их помощью достаточно просто решать задачи, поскольку проекции сил - это скалярные величины.

В повседневной жизни приходится часто сталкиваться с телами, которые не могут двигаться поступательно, но могут вращаться вокруг оси. Примерами таких тел могут служить двери и окна, качели, колеса машин и так далее.

Рассмотрим однородное тело в форме диска, которое может свободно вращаться вокруг закрепленной оси, проходящей через его центр.

Если к этому телу приложить силу в некоторой точке А , находящейся под осью вращения, то диск останется в равновесии. Действительно, в этом случае в диске возникнет сила упругости со стороны оси вращения, которая и будет компенсировать воздействие внешней силы .

Если подвесить тело в точке B, находящейся выше или ниже точки «А», то равновесие тоже не нарушится. Отсюда можно сделать вывод, что точку приложения силы можно переносить вдоль линии ее действия . При этом, как видно из рисунка, внешняя сила и сила упругости лежат на одной прямой.

Если же прямая, на которой лежит вектор внешней силы, не проходит через ось вращения, то эта сила не может быть скомпенсирована действием силы упругости оси, и тело начнет поворачивается.

А что произойдет, если к диску приложить не одну, а несколько сил, направленные в разные стороны, например, так, как это показано на рисунке?

Сила F 1 будет стремиться повернуть тело по ходу часовой стрелки, а сила F 2 - против хода часовой стрелки. Так вот, в зависимости от соотношения модулей действующих сил и кратчайших расстояний от оси вращения до линии действия сил, тело повернется в ту или иную сторону.

Если же отношение действующих сил обратно пропорционально этим кратчайшим расстояниям, то тело будет находиться в равновесии.

Данная формула известна из курса физики 7 класса, как условие равновесия рычага .

Кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы называется плечом силы . А произведение модуля силы на ее плечо называется моментом силы .

Из определения момента силы следует, что единицей его измерения в системе СИ является

Исходя из условия равновесия рычага и определения момента силы, можно сформулировать второе условие равновесия тел . И так, тело находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех сил, приложенных к телу, относительно любой оси равна нулю.

Данное условие равновесия является следствием одной из теорем механики - теоремы Вариньона.

Следует напомнить о том, что при использовании правила моментов необходимо учитывать знаки действующих сил . Так обычно считают, что момент силы, которая вызывает вращение тела по ходу часовой стрелки , положителен . И наоборот, если сила пытается повернуть тело против хода часовой стрелки , то момент этой силы считают отрицательным . Однако можно считать и наоборот.

В механике часто возникает необходимость ответить на вопрос: в каких случаях тело может сколь угодно долго оставаться в покое, если оно находилось в покое в начальный момент? Естественно, что должны выполняться условия равновесия. Но практически не во всяком положении равновесия, тело, находящееся в начальный момент в покое, будет оставаться в покое и в последующие моменты времени. Дело в том, что в реальных условиях, помимо учитываемых сил (сила тяжести, сила реакции подвеса или опоры, силы трения и так далее), тело испытывает и не учитываемые случайные воздействия. Это могут быть, например, небольшие сотрясения, колебания воздуха и тому подобное. Под действием таких сил тело хотя бы немного, но будет отклоняться от положения равновесия, а в этом случае дальнейшее поведение тела может быть различным.

Поэтому, для того, чтобы судить о поведении тела в реальных условиях необходимо уметь оценивать равновесие. Различают три вида равновесия - это устойчивое равновесие, неустойчивое равновесие и равновесие безразличное.

Равновесие тела называют устойчивым , если при отклонении тела от положения равновесия возникают силы, возвращающие тело в положение равновесия.

Примером устойчивого равновесия может служить шарик, находящийся на вогнутой поверхности. Если отклонить шарик от положения равновесия, то спустя некоторое временя он вернется в первоначальное положение. Это объясняется тем, что равнодействующая сила в любой точке траектории шарика (за исключением исходной) направлена к положению равновесия .

В устойчивом положении равновесия центр тяжести тела занимает наинизшее из всех близких положений . Тогда очевидно, что такое равновесие тела связано с минимумом его потенциальной энергии.

Если же равнодействующая сила не возвращает тело в первоначальное положение равновесия, а вызывает его дальнейшее отклонение от него, то такое равновесие называется неустойчивым .

В таком положении, например, находится шарик на выпуклой подставке. При отклонении равнодействующая сила направлена от положения равновесия . В положении неустойчивого равновесия высота центра тяжести тела максимальна. Следовательно, такое равновесие связано с максимумом потенциальной энергии тела.

Если смещения тела в любом направлении не вызывает изменение действующих на него сил (то есть равнодействующая всех сил, приложенных к телу, остается равной нулю), то такое положение равновесия называется безразличным .

В таком положении находится шарик на горизонтальной плоскости. Безразличное равновесие связано с неизменной потенциальной энергией, а высота центра тяжести тела одинакова во всех достаточно близких положениях.

Другим примером равновесий может быть равновесие тела, имеющего ось вращения. В качестве примера рассмотрим однородное тело прямоугольной формы (например, линейку), которое может вращаться вокруг оси, проходящей через точку О .

Линейка будет находиться в устойчивом равновесии, если ее центр тяжести (точка C ) находится ниже оси вращения (то есть ниже точки O ). При отклонении от положения равновесия возникает момент силы тяжести, который возвращает линейку в положение равновесия. Очевидно, что в отклоненном положении потенциальная энергия линейки больше, чем в положении равновесия. Таким образом, тело, имеющее ось вращения, будет находиться и устойчивом равновесии, если центр тяжести тела находится на вертикальной прямой, проходящей через ось вращения, ниже оси вращения .

Если же центр тяжести находится на вертикальной прямой, проходящей через ось вращения, расположен выше оси вращения, то равновесие будет неустойчивым. В этом случае при отклонении момент силы тяжести отклоняет тело еще дальше от первоначального положения равновесия. При этом потенциальная энергия тела уменьшается.

Если центр тяжести тела и ось вращения будут совпадать, то при любом положении тела момент силы тяжести равен нулю, поскольку равно нулю плечо этой силы . Иными словами, мы с вами будем наблюдать безразличное равновесие. Что касается потенциальной энергии тела, то она будет оставаться неизменной.

Рассмотрим теперь условия устойчивости тела, опирающегося не на одну точку, как в ранее рассмотренных случаях, а на несколько точек (например, стол) или имеющее площадь опоры (например, ящик). В этих случаях для устойчивого равновесия тела необходимо, чтобы вертикаль, проведенная через центр тяжести, проходила внутри площади опоры тела , то есть внутри контура, образованного линиями, соединяющими точки опоры, или внутри площадки, на которую опирается тело.

Если наклонять стол или ящик, то их центр тяжести будет подниматься. Но момент силы тяжести относительно оси вращения будет стремиться вернуть его в первоначальное положение до тех пор, пока линия действия силы тяжести проходит через площадь опоры.

Однако, если их наклонить так, что линия действия силы тяжести выйдет за пределы площади опоры, то тела опрокинутся вследствие действия момента силы тяжести. Очевидно, что имеется предельный угол наклона, то есть угол между прямой, соединяющей центр тяжести тела и крайнюю точку соприкосновения площади опоры с горизонтальной плоскостью, после которого первоначальное равновесие уже не восстанавливается и тело опрокидывается. Этот предельный угол будет тем меньше, чем выше расположен центр тяжести тела при данной площади опоры .

Основные выводы:

Рассмотрены два условия равновесия тел и основные виды равновесия.

Рассказать друзьям