Производная по направлению.

💖 Нравится? Поделись с друзьями ссылкой

Пусть функция u = f (x, y, z) непрерывна в некоторой области D и имеет в этой области непрерывные частные производные. Выберем в рассматриваемой области точку M(x,y,z) и проведем из нее вектор S , направляющие косинусы которого cosα, cosβ, cosγ. На векторе S на расстоянии Δs от его начала найдем точку М 1 (х+ Δх, у+ Δу, z+ Δz ), где

Представим полное приращение функции f в виде:

Где

После деления на Δs получаем:

Поскольку предыдущее равенство можно переписать в виде:

Градиент.

Определение Предел отношения при называется производной от функции u = f (x, y, z) по направлению вектора S и обозначается .

При этом из (1) получаем:

(2)

Замечание 1. Частные производные являются частным случаем производной по направлению. Например, при получаем:

Замечание 2. Выше определялся геометрический смысл частных производных функции двух переменных как угловых коэффициентов касательных к линиям пересечения поверхности, являющейся графиком функции, с плоскостями х = х 0 и у = у 0 . Аналогичным образом можно рассматривать производную этой функции по направлению l в точке М(х 0 , у 0) как угловой коэффициент линии пересечения данной поверхности и плоскости, проходящей через точку М параллельно оси Oz и прямой l .

Определение Вектор, координатами которого в каждой точке некоторой области являются частные производные функции u = f (x, y, z) в этой точке, называется градиентом функции u = f (x, y, z).

Обозначение: grad u = .

Свойства градиента.

1. Производная по направлению некоторого вектора S равняется проекции вектора grad u на вектор S . Доказательство. Единичный вектор направления S имеет вид e S ={cosα, cosβ, cosγ}, поэтому правая часть формулы (4.7) представляет собой скалярное произведение векторов grad u и e s , то есть указанную проекцию.

2. Производная в данной точке по направлению вектора S имеет наибольшее значение, равное |grad u |, если это направление совпадает с направлением градиента. Доказательство. Обозначим угол между векторами S и grad u через φ. Тогда из свойства 1 следует, что |grad u |∙cosφ, (4.8) следовательно, ее наибольшее значение достигается при φ=0 и равно |grad u |.

3. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору grad u , равна нулю.

Доказательство. В этом случае в формуле (4.8)

4. Если z = f (x,y) – функция двух переменных, то grad f = направлен перпендикулярно к линии уровня f (x,y) = c, проходящей через данную точку.

Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Нахождение наибольших и наименьших значений.

Определение 1. Точка М 0 (х 0 , у 0) называется точкой максимума функции z = f (x, y), если f (x o , y o) > f (x, y) для всех точек (х, у) М 0 .

Определение 2 . Точка М 0 (х 0 , у 0) называется точкой минимума функции z = f (x, y), если f (x o , y o) < f (x, y) для всех точек (х, у) из некоторой окрестности точки М 0 .

Замечание 1. Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции нескольких переменных.

Замечание 2. Аналогичным образом определяется точка экстремума для функции от любого количества переменных.

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если М 0 (х 0 , у 0) – точка экстремума функции z = f (x, y), то в этой точке частные производные первого порядка данной функции равны нулю или не существуют.

Доказательство.

Зафиксируем значение переменной у , считая у = у 0 . Тогда функция f (x, y 0) будет функцией одной переменной х , для которой х = х 0 является точкой экстремума. Следовательно, по теореме Ферма или не существует. Аналогично доказывается такое же утверждение для .

Определение 3. Точки, принадлежащие области определения функции нескольких переменных, в которых частные производные функции равны нулю или не существуют, называются стационарными точками этой функции.

Замечание. Таким образом, экстремум может достигаться только в стационарных точках, но не обязательно он наблюдается в каждой из них.

Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть в некоторой окрестности точки М 0 (х 0 , у 0) , являющейся стационарной точкой функции z = f (x, y), эта функция имеет непрерывные частные производные до 3-го порядка включительно. Обозначим Тогда:

1) f (x, y) имеет в точке М 0 максимум, если AC – B ² > 0, A < 0;

2) f (x, y) имеет в точке М 0 минимум, если AC – B ² > 0, A > 0;

3) экстремум в критической точке отсутствует, если AC – B ² < 0;

4) если AC – B ² = 0, необходимо дополнительное исследование.

Пример. Найдем точки экстремума функции z = x ² - 2xy + 2y ² + 2x. Для поиска стационарных точек решим систему . Итак, стационарная точка (-2,-1). При этом А = 2, В = -2, С = 4. Тогда AC – B ² = 4 > 0, следовательно, в стационарной точке достигается экстремум, а именно минимум (так как A > 0).

Условный экстремум.

Определение 4. Если аргументы функции f (x 1 , x 2 ,…, x n) связаны дополнительными условиями в виде m уравнений (m < n) :

φ 1 (х 1 , х 2 ,…, х n) = 0, φ 2 (х 1 , х 2 ,…, х n) = 0, …, φ m (х 1 , х 2 ,…, х n) = 0, (1)

где функции φ i имеют непрерывные частные производные, то уравнения (1) называются уравнениями связи .

Определение 5. Экстремум функции f (x 1 , x 2 ,…, x n) при выполнении условий (1) называется условным экстремумом .

Замечание. Можно предложить следующее геометрическое истолкование условного экстремума функции двух переменных: пусть аргументы функции f(x,y) связаны уравнением φ(х,у) = 0, задающим некоторую кривую в плоскости Оху . Восставив из каждой точки этой кривой перпендикуляры к плоскости Оху до пересечения с поверхностью z = f (x,y), получим пространственную кривую, лежащую на поверхности над кривой φ(х,у) = 0. Задача состоит в поиске точек экстремума полученной кривой, которые, разумеется, в общем случае не совпадают с точками безусловного экстремума функции f(x,y).

Определим необходимые условия условного экстремума для функции двух переменных, введя предварительно следующее определение:

Определение 6. Функция L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n) , (2)

где λ i – некоторые постоянные, называется функцией Лагранжа , а числа λ i неопределенными множителями Лагранжа .

Теорема (необходимые условия условного экстремума). Условный экстремум функции z = f (x, y) при наличии уравнения связи φ (х, у) = 0 может достигаться только в стационарных точках функции Лагранжа L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Производная по направлению.

Пусть в плоскости XOY расположена точка M 0 (x 0 ,y 0 ). Зададим произвольный угол a и рассмотрим множество точек на той же плоскости, координаты которых определяются из формул

x = x 0 + t cosa, y = y 0 + t sina. (1)

Здесь t ‑ параметр, который может быть равен любому числу. Из формул (1) следует:

(y - y 0)/(x - x 0) = tga

Это означает, что все точки M (x,y ), координаты которых удовлетворяют равенствам (1), лежат на прямой, проходящей через точку M 0 (x 0 ,y 0) и составляющей угол a с осью OX . Каждому значению t соответствует единственная точка M (x,y ), лежащая на этой прямой, причем согласно формуле (1) из расстояние между точками M 0 (x 0 ,y 0) и M (x,y ) равно t . Можно считать эту прямую числовой осью с положительным направлением, определяемым возрастанием параметра t . Обозначим положительное направление этой оси символом l .

l .Производной функции z = f (x,y ) в точке M 0 (x 0 ,y 0)по направлению l называется число

Производной функции по направлению можно дать геометрическую интерпретацию. Если через прямую l , определяемую формулами (1), провести вертикальную плоскость P (на самом деле в трехмерном пространстве уравнения (1) определяют эту самую плоскость), то эта плоскость пересечет поверхность-график функции z = f (x,y ) вдоль

некоторой пространственной кривой L . Тангенс угла между горизонтальной плоскостью и касательной к этой кривой в точке M 0 (x 0 ,y 0)равен производной функции в этой точке по направлению l .

В любом курсе математического анализа доказывается, что производная по направлению, определяемая формулой (2), может быть представлена в виде

Заметим, что частная производная по x тоже является производной по направлению. Это направление определяется равенствами: cosa = 1; sina = 0. Аналогично частная производная по y - это производная по направлению, которое можно задать условиями cosa = 0; sina = 1.

Прежде, чем анализировать формулу (3), приведем некоторые понятия и факты из курса векторной алгебры. Пусть в плоскости с системой координат XOY задан направленный отрезок или (что то же самое) вектор, причем точка M 0 (x 0 ,y 0)является его начальной точкой, а M 1 (x 1 ,y 1)‑ конечной точкой. Определим координату вектора по оси OX как число, равное x 1 ‑ x 0 , а координату по оси , как число, равное y 1 ‑ y 0 . Если задать упорядоченную пару любых чисел a и b , то эти числа можно рассматривать как координаты некоторого вектора в плоскости XOY , причем длина этого вектора определена формулой

,

а тангенс угла наклона g вектора к оси OX определяется из формулы tgg = b/a (отметим, что зная величину tgg , а также знак любого из чисел a и b , мы можем определить угол g с точностью до 2p ).

Представление вектора в виде пары его координат будем записывать в виде . Такое представление имеет одну характерную особенность: оно не определяет местоположение вектора на плоскости XOY . Чтобы его определить, нужно наряду с координатами вектора задавать, например, координаты его начальной точки или, как её можно назвать, точки приложения вектора.

Если заданы два вектора: и , то скалярным произве­дением этих векторов называется число (j ‑ угол между векторами).

В любом курсе векторной алгебры доказывается, что скалярное произведение векторов и равно сумме произведений одноименных координат этих векторов:

= a 1 b 1 + a 2 b 2 . (4)

Пусть в некоторой области G плоскости XOY задана функция z = f (x,y ) , имеющая непрерывные частные производные по обоим аргументам.

Градиентом или вектором-градиентом функции f(x,y) в точке (x,y) Î G называется вектор, который задается формулой

.

Функция f определяет для каждой точки области G вектор-градиент, исходящий из этой точки.

Возвратимся теперь к формуле (3). Ее правую часть мы можем рассматривать, как скалярное произведение векторов. Первый из них ‑ вектор-градиент функции z = f (x,y ) в точке M 0 (x 0 ,y 0):

.

Второй – вектор . Это вектор, имеющий длину 1 и угол наклона к оси Ox, равный a .

Теперь можно сделать вывод, что производная функции z = f (x,y ) по направлению, определяемому углом a наклона к оси OX , в точке M 0 (x 0 ,y 0) может быть вычислена по формуле

. (5)

Здесь b ‑ угол между вектором и вектором , задающим направление, по которому берется производная. Здесь также учтено, что

Производная по направлению

В математическом анализе , производная по направлению - это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

Производная функции одной переменной показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента . Если мы попытаемся по аналогии определить производную функции многих переменных, то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (то есть точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению .

Рассмотрим функцию от аргументов в окрестности точки . Для любого единичного вектора определим производную функции в точке по направлению следующим образом:

Значение этого выражения показывает, как быстро меняется значение функции при сдвиге аргумента в направлении вектора .

Если направление сонаправленно с координатной осью, то производная по направлению совпадает с частной производной по этой координате.

Связь с градиентом

Производную по направлению дифференцируемой по совокупности переменных функции можно рассматривать как проекцию градиента функции на это направление, или иначе, как скалярное произведение градиента на орт направления:

,

где - орт направления. Отсюда следует, что максимальное значение в точке производная по направлению принимает, если направление совпадает с направлением градиента функции в данной точке. Также видно, что значение производной по направлению не зависит от длины вектора .

См. также

Ссылки


Wikimedia Foundation . 2010 .

  • Плита Наска
  • Коробков, Дмитрий Сергеевич

Смотреть что такое "Производная по направлению" в других словарях:

    производная по направлению - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN directional derivative … Справочник технического переводчика

    Производная (обобщения) - У этого термина существуют и другие значения, см. Производная. В математике существует много различных обобщений понятия производной, так как она является базовой конструкцией дифференциального исчисления. Содержание 1 Односторонние производные … Википедия

    Производная (обобщение)

    Производная направления - В математическом анализе, производная по направлению это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает на сколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.… … Википедия

    Производная функции - У этого термина существуют и другие значения, см. Производная. Иллюстрация понятия производной Производная … Википедия

    Производная функция - Производная основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел… … Википедия

    Производная - (ый, ое) произведённая, образованная от другой, простейшей или основной величины, формы, категории. Содержание 1 Математика 2 Нематематические понятия … Википедия

    Производная Ли - тензорного поля по направлению векторного поля главная линейная часть приращения тензорного поля при его преобразовании, которое индуцировано локальной однопараметрической группой диффеоморфизмов многообразия, порождённой полем. Названа в … Википедия

    Производная Гато - расширяет концепцию производной на локально выпуклые топологические векторные пространства. Название дано в честь французского математика Рене Гато (фр. René Gâteaux). Определение Пусть есть отображение, действующее из в. Дифференциалом… … Википедия

    Односторонняя производная - В математике существует много различных обобщений понятия производной, так как она является базовой конструкцией дифференциального исчисления. Содержание 1 Односторонние производные 2 Анализ функций нескольких переменных … Википедия

Книги

  • Высшая математика. Стандартные задачи с основами теории: Учебное пособие. , Вдовин А.Ю.. Доп. УМО вузов РФ по образованию в области транспортных машин и транспортно-технологических комплексов в качестве уч. пос. для студентов вузов, обуч. по специальностям направлений подготовки… Купить за 425 руб
  • Методы решения некоторых задач избранных разделов высшей математики. Практикум , Клименко Константин Григорьевич, Левицкая Галина Васильевна, Козловский Евгений Александрович. В данном практикуме рассматриваются методы решения некоторых типов задач из таких разделов общепринятого курса математического анализа, как предел и экстремум функции, градиент и производная…

Производная по направлению. Основные понятия и определения

Скалярное поле

Основные понятия и определения

В физике и математике (и других сферах человеческой деятельности) приходится иметь дело с величинами двух родов: одни из них можно задать числом, другие связаны с понятием о направлении в пространстве и для своего задания требуют уже несколько чисел (три и больше). Примером первых могут служить такие физические величины, как температура, плотность вещества, масса тела, давление в жидкости и др. Примером вторых - скорость, импульс тела, характеристики электромагнитного и гравитационного полей .

Если эти величины меняются в пространстве и времени, то их объединяют общим названием - поле (скалярное, векторное, тензорное).

Рассмотрим наиболее простое понятие скалярного поля. Дадим строгое математическое определение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Если в некоторой области пространства D , каждой точке M единственным образом ставится в соответствие число , то в области D задано скалярное поле.

Пусть в обл. D введена Декартова Система Координат (ДСК), тогда точку M можно задать с помощью декартовых переменных , а скалярное поле рассматривать как функцию координат.

Реальные скалярные поля часто обладают определенной симметрией, знание которой значительно облегчает изучение их. Для обнаружения этой симметрии вводится понятие Поверхности Равного Уровня (ПРУ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Поверхностью Равного Уровня (ПРУ) скалярного поля называется геометрическое место точек, в которых

(1.1)

т.е. поверхность, где поле принимает постоянные значения. Задавая различные значения const мы построим семейство ПРУ. Из определения 1.1 следует, что ПРУ не могут пересекаться, в противном случае в точке пересечения однозначность поля нарушается. Однако в обл. D могут существовать особые точки, в которых поле невозможно задать однозначно, поэтому более точно утверждение: во всех точках обл. D , где поле задано однозначно, ПРУ не пересекаются. Физически это означает, что в точках, где поле не определено, расположены источники этого поля (причины, которые его порождают) и основная задача состоит в том, чтобы найти связь между полем и его источниками (записать уравнение поля и решить его). Эта задача выходит за рамки нашего курса. Детально она будет изучена в разделах математической физики.

Производная по направлению

Нам сейчас необходимо научиться исследовать свойства скалярных полей по заранее выбранным направлениям в пространстве, например, следующим образом.

Пусть требуется установить, как быстро изменяется функция вдоль некоторой линии L (см. рис. 1). Для этого в двух точках M , M L вычислим значение ) и и составим предел следующего отношения:

= (1.2)

Здесь - расстояния между рассматриваемыми точками.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Производной скалярного поля в точке по направлению кривой L (сокращенно - производная по направлению), называется предел (1.2), если он существует и не зависит от способа стремления

Из определения 1.3 следует, что производная по направлению (1.2) является функцией не только предельной точки M , но и вектора , задающего направление на кривой L (см. рис. 1.).

Определение производной по направлению.

Рассмотрим кривую L и вектор в ДСК. Линию L зададим в параметрической форме:

а вектор - стандартным разложением:

Поскольку - единичный вектор, то.

, ,

где -- углы между ортами ДСК и вектором . Окончательно в ДСК будет иметь вид: (1.4)

Рассказать друзьям