Расчетные формулы.

💖 Нравится? Поделись с друзьями ссылкой

Лабораторная работа № 1

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ СПЛАЙНА

Цель работы

Ознакомление студентов с задачей интерполяции функций, с методом прогонки для решения систем линейных алгебраических уравнений с ленточной матрицей, с понятием сплайна, получение навыков решения задач вычислительной математики на ЭВМ.

Задачи работы

Закрепление, углубление и расширение знаний студентов при решении практических вычислительных задач. Овладение вычислительными методами и практическими методами оценки погрешности вычислений. Приобретение умений и навыков при программировании и отладке вычислительных задач на компьютере.

Вводная часть

Известны два способа представления функций: аналитический и табличный. Первый требует сравнительно длительного времени вычисления, но небольшого объема памяти. Второй – наоборот. Существует промежуточный способ - сплайн.

Теоретические основы

Постановка задачи

Пусть отрезок [a , b ] разбит на n частичных отрезков [x i , x i +1 ], где x i <x i +1 , i= 0,1, …, n- 1, x 0 =a , x n =b . Обозначим h i =x i -x i - 1 . В случае равномерного разбиения h= (b-a )/n , x i =a+ih .

Функция f (x ) задана своими значениями в узловых точках x i .

Рис. 2.4.1. Разбиение интервала при интерполяции сплайном

Сплайном называется функция, которая вместе с несколькими производными непрерывна на всём заданном отрезке [a,b ], а на каждом частичном отрезке [x i ,x i +1 ] в отдельности является некоторым алгебраическим многочленом.

Максимальная по всем частичным отрезкам степень многочленов называется степенью сплайна , а разность между степенью сплайна и порядком наивысшей непрерывной на [a , b ] производной – дефектом сплайна .

Например, непрерывная кусочно-линейная функция (ломанная) является сплайном первой степени с дефектом, равным единице, т.к. непрерывна только сама функция (нулевая производная), а первая производная уже разрывна.

На практике наиболее широкое распространение получили сплайны третьей степени, имеющие на [a, b ] непрерывную, по крайней мере, первую производную. Эти сплайны называются кубическими и обозначаются через . На каждом отрезке кубический сплайн имеет вид

S 3 (x )=а i 0 +а i 1 (x - x i )+а i 2 (x - x i ) 2 +а i 3 (x - x i ) 3 , x Î[x i , x i+ 1 ], (2.4.1)

и удовлетворяет условиям

S 3 (x i )=f (x i ), i= 0,...,n . (2.4.2)

Сплайн (2.4.1) на каждом из отрезков [x i , x i + 1 ], i= 0,...,n- 1 определяется четырьмя коэффициентами, и поэтому для его построения на всем промежутке [a,b ] необходимо определить 4n коэффициентов. Для их однозначного определения необходимо задать 4n уравнений.

Условие (2.4.2) дает 2n уравнений, т.к. каждый многочлен должен проходить через две заданные точки: начало и конец отрезка [x i , x i + 1 ]. При этом функция S 3 (x i ), удовлетворяющая этим условиям, будет непрерывна во всех внутренних узлах.

Условие непрерывности производных сплайна , во всех внутренних узлах x i , i= 1,...,n- 1 сетки дает 2(n- 1) равенств.

Вместе получается 4n- 2 уравнений.

Два дополнительных условия обычно задаются в виде ограничений на значение производных сплайна на концах промежутка [a,b ] и называются краевыми условиями.

Выбор краевых условий

Наиболее употребительны следующие типы краевых условий:

д) .

Через краевые условия в конструкцию сплайна включаются параметры, выбирая которые можно управлять его поведением, особенно возле концов отрезка [a,b ].

Если известны f" (x ). f" (x ) или f¢¢¢ (x ) в точках а и b , то естественно воспользоваться краевыми условиями типа а), б) или в).

Если производные неизвестны, то в большинстве случаев наилучшим решением будет применение краевых условий типа г).

Условия типа д) носят названия периодических. Естественно требовать их выполнения в том случае, когда интерполируемая функция периодическая с периодом (b-a ).

Вместо значений производных можно использовать их разностные аналоги. При этом точность интерполяции вблизи концов отрезка [a ,b ] падает.

Погрешность аппроксимации кубическим сплайном

Теорема. Если функция f (x ) при x Î[x 0 , x n ] j раз непрерывно дифференцируема и k =min{j , 4}, то для m £k -1

причем c m не зависит от h i и i .

Примечание 1. Допустим, вторая производная f (x ) непрерывна, а третья и четвертая – кусочно-непрерывны и могут иметь разрывы только первого рода в узлах сетки x i . Тогда оценка (2.4.3) остается в силе, если вместо символа max использовать sup . Дело в том, что рассматриваемый способ построения сплайна позволяет точно строить как любой многочлен третьей степени на всем интервале [x 0 ,x n ] (при этом обеспечивается непрерывность третьей производной), так и любую заданную функцию, составленную из многочленов третьей степени, если эта функция имеет непрерывную вторую производную.

Примечание 2. Если производная f"" (x ) имеет разрывы 1-го рода или граничные значения второй производной заданы с ошибкой, то оценка (2.4.3) остается справедливой при k =2, m £1.


©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-11-19

При приближенной замене непрерывных систем, дискретными системами возникает погрешность, в результате которой истинные значения сигнала на выходе непрерывной системы в точках отличаются от вычисленных значений на выходе дискретной системы. Ошибка , обусловленная дискретизацией, будет, вообще говоря, тем меньше, чем меньше шаг дискретизации . В пределе при процессы в непрерывной и эквивалентной дискретной системах совпадают. Однако при уменьшении шага дискретизации увеличивается объем вычислений, поэтому шаг целесообразно выбирать как можно большим, но удовлетворяющим заданной точности вычислений.

В настоящее время, к сожалению, не представляется возможным указать достаточно простой общий способ выбора значения шага дискретизации, обеспечивающего заданную точность при различных методах дискретизации. Можно лишь сказать, что ошибка вычисления дискретных значений сигнала на выходе непрерывной системы будет мала, если шаг дискретизации приближенно удовлетворяет условиям теоремы Котельникова. Для использования этой теоремы нужно знать ширину спектра сигнала и ширину полосы пропускания системы. Однако эта теорема не дает ответа на вопрос, какова будет величина ошибки при заданном шаге дискретизации в реальных условиях, когда функции не имеют строго ограниченного спектра. Поэтому задача оценки погрешности дискретизации является предметом самостоятельных исследований.

В общем случае погрешность дискретной аппроксимации непрерывных систем зависит от шага дискретизации, метода дискретизации, вида входного сигнала, характеристик системы и, наконец, от выбранной числовой меры погрешности. Такое разнообразие факторов, влияющих на погрешность, существенно затрудняет ее количественную оценку. Поэтому обычно задачу оценки погрешности дискретной аппроксимации сужают. В первую очередь это относится к ограничению класса входных сигналов: оценку погрешности проводят при некоторых типовых (стандартных) воздействиях.

Часто погрешность дискретной аппроксимации непрерывных систем оценивают при воздействии в виде единичного скачка (оценка погрешности путем сравнения переходных процессов в непрерывной и дискретной системах ). Суть такого метода состоит в следующем. При выбранном шаге дискретизации вычисляется переходная характеристика дискретной системы и сравнивается с аналогичной переходной характеристикой непрерывной системы. В качестве меры погрешности может быть выбрано, например, среднеквадратическое отклонение кривых. Если при выбранном шаге дискретизации различие переходных процессов велико, то, уменьшая шаг, можно добиться приемлемой точности дискретной аппроксимации.

Переходная характеристика дискретной линейной системы строится путем расчета по рекуррентным формулам вида (3.24) при и нулевых начальных условиях, что легко осуществляется, например, с помощью настольной клавишной вычислительной машины. Для построения переходной характеристики непрерывной системы могут быть использованы хорошо известные из теории линейных систем автоматического регулирования методы (см., например, ), в частности метод получения переходной характеристики путем отыскания оригинала изображения - , где - передаточная функция системы.

Если построение переходного процесса в непрерывной системе затруднительно, то шаг дискретизации практически можно выбрать следующим образом.

Строится последовательность переходных характеристик дискретной системы для ряда уменьшающихся (например, в два раза) значений шага дискретизации . После этого выбирается то значение , начиная с которого переходная характеристика практически не изменяется с уменьшением . В основу такого приема положен тот факт, что при процессы в эквивалентной импульсной системе совпадают с процессами в непрерывной системе.

В качестве стандартного сигнала используется также гармоническое колебание (оценка погрешности путем сравнения частотных характеристик непрерывной и дискретной систем ).

Нетрудно найти общую формулу для такого сравнения. Действительно, частотная характеристика непрерывной системы с передаточной функцией есть . Частотная характеристика эквивалентной дискретной системы с передаточной функцией , как известно , получается из путем замены на , т.е. при .

Функции и имеют аналогичный смысл: для непрерывных систем означает то, что гармоническое колебание , поданное на вход системы, вызывает на выходе в установившемся режиме гармоническую реакцию ; для дискретных систем означает то, что дискретная гармоника на входе системы вызывает на выходе системы в установившемся режиме дискретную гармонику .

О погрешности дискретной аппроксимации можно судить по отношению частотных характеристик

, (3.127)

которое при выбранном шаге дискретизации равно отношению комплексной амплитуды гармоники на выходе дискретной системы к комплексной амплитуде гармоники на выходе исходной непрерывной системы при одном и том же гармоническом воздействии с частотой на входах обеих систем. В области частот, где

будут малы соответственно амплитудные и фазовые погрешности дискретной аппроксимации. Зная передаточную функцию и ее дискретный эквивалент при различных методах дискретной аппроксимации (§3.2; 3.3), в каждом конкретном случае по формуле (3.127) можно довольно просто рассчитать погрешность дискретизации в частотной области. Примеры использования формулы (3.127) для оценки погрешности различных методов дискретной аппроксимации интегрирующего звена первого порядка даны в .

В некоторых работах оценивается ошибка дискретной аппроксимации непрерывных систем при стационарном случайном воздействии на входе. Поскольку случайный процесс представляет собой целый ансамбль сигналов, оценка погрешности при случайном воздействии дает некоторую усредненную величину погрешности по ансамблю сигналов, а не по одному какому-нибудь элементарному сигналу. Это является важным доводом в пользу такого рода оценок.

Ниже рассматриваются вопросы оценки среднеквадратической погрешности дискретной аппроксимации непрерывных систем, когда в качестве стандартного входного сигнала используется стационарный случайный процесс. Случайный сигнал является более сложным по структуре, чем элементарные стандартные сигналы в виде единичной ступеньки или гармонического колебания, но, несмотря на это, он позволяет найти довольно простые оценки погрешности, а при некоторых условиях даже более простые, чем при классических стандартных сигналах.

Пусть задана некоторая линейная непрерывная система с постоянными параметрами с передаточной функцией и импульсной переходной характеристикой , на вход которой воздействует стационарный случайный процесс с энергетическим спектром .

Рассмотрим методы дискретизации заданной системы, которые соответствуют замене ее эквивалентной импульсной системой по схеме, представленной на рис. 3.1 (§ 3.2). К таким методам относятся метод - преобразования (§ 3.3), который эквивалентен дискретизации непрерывной свертки с использованием формулы прямоугольников (§ 3.2); метод Цыпкина-Гольденберга; метод Рагаззини-Бергена (§ 3.3).

Различие между выходными сигналами непрерывной и эквивалентной импульсной системы образуется в результате неточного восстановления входного сигнала интерполирующим фильтром в схеме рис. 3.1. Ошибку выходного сигнала в этом случае можно рассматривать как выходной сигнал схемы, .показанной на рис. З.10, а, которая, очевидно, эквивалентна схеме, представленной на рис. 3.10, б. Ошибка является результатом преобразования ошибки интерполяции входного сигнала заданной линейной системой. Корреляционно-спектральные характеристики ошибки при различных видах интерполяции стационарных случайных сигналов были найдены в § 1.7. Зная их, легко можно найти характеристики ошибки выходного сигнала.

Действительно, если - энергетический спектр ошибки интерполяции входного сигнала, то дисперсия искомой ошибки равна

,

где - энергетический спектр искомой ошибки.

Учитывая, что дисперсия выходного сигнала в рассматриваемом случае равна

,

и используя формулу (1.42) для вычисления энергетического спектра ошибки интерполяции входного сигнала, получим следующее общее выражение для нахождения относительной среднеквадратической погрешности выходного сигнала, возникающей в результате замены непрерывной линейной системы эквивалентной импульсной системой

, (3.128)

где - частотная характеристика интерполирующего фильтра; - энергетический спектр дискретного случайного процесса .

Величину целесообразно принять в качестве меры погрешности дискретной аппроксимации непрерывных линейных систем. Формула (3.128) позволяет найти точное значение этой меры в виде зависимости от шага дискретизации , от метода дискретизации (характеризуемого типом передаточной функции интерполирующего фильтра), от энергетического спектра входного случайного сигнала и от передаточной функции заданной непрерывной системы. К сожалению, это выражение является довольно громоздким. Однако имеется возможность найти более простые приближенные оценки величины .

Действительно, если частота дискретизации входного сигнала в несколько раз превышает полосу пропускания системы, а спектр сигнала в области высоких частот убывает достаточно медленно, то в пределах полосы пропускания энергетический спектр ошибки интерполяции входного сигнала можно принять постоянным и равным (см. рис. 1.7, на котором сплошными линиями (0, 1, 2, 3, 4) показаны примеры энергетических спектров и пунктиром - частотная характеристика системы).

. (3.130)

Величина может быть вычислена по формуле (1.44).

Поскольку у наиболее распространенных типов интерполирующих фильтров коэффициенты передачи на нулевой частоте одинаковы и равны (см. табл. 1.1), то согласно формуле (1.44)

Из соотношений (1.129) - (1.131) следует, что погрешность дискретной аппроксимации слабо зависит от типа интерполирующего фильтра. На это указывалось в . Однако этот эффект не имеет абсолютного характера: он наблюдается только при выполнении указанных выше условий. В частности, им нельзя пользоваться в случаях, когда спектр входного сигнала в области частот выше частоты дискретизации резко убывает или же равен нулю.

Дополнительное упрощение оценки величины можно получить, если учесть следующее обстоятельство. Пусть - отношение дисперсии ошибки интерполяции входного сигнала к дисперсии самого сигнала. После прохождения процессов и через заданную линейную систему отношение их дисперсий будет равно искомой величине . Спектр ошибки интерполяции входного сигнала обычно в несколько раз шире спектра самого сигнала, следовательно, у процесса доля дисперсии, приходящаяся на высокочастотные составляющие, больше чем у процесса . При прохождении этих процессов через заданную систему (при условии, что она пропускает в основном низкие частоты) высокочастотные составляющие отфильтровываются (см. рис. 1.7), так что отношение дисперсии этих процессов уменьшается. Следовательно, в этих случаях

Таким образом, при достаточно широких условиях относительная погрешность выходного сигнала , возникающая в результате замены непрерывной системы дискретной системой, не превышает относительной погрешности интерполяции входного сигнала . Величина может быть найдена по формулам, выведенным в § 1.7, в частности по формулам (1.48).

Рассмотрим теперь несколько иное использование приведенной здесь методики нахождения погрешности дискретной аппроксимации непрерывных систем.

Пусть в качестве моделируемой системы задана некоторая линейная непрерывная следящая система с передаточной функцией . Если и - входной и выходной сигналы системы соответственно, то ошибка слежения будет равна . При замене непрерывной следящей системы эквивалентной импульсной следящей системой ошибка слежения будет равна .

Погрешность дискретной аппроксимации в этом случае можно оценить, сопоставляя дисперсии и ошибок и при случайном стационарном входном сигнале.

Дисперсию ошибки можно, очевидно, выразить в виде

.

Для вычисления дисперсии ошибки можно воспользоваться формулой (1.42), если заменить в ней произведением , т. е. заменить передаточную функцию интерполирующего фильтра передаточной функцией приведенной непрерывной части. В этом легко убедиться, сравнивая рис. 3.11 и 1.6, на которых показаны схемы формирования ошибок и [на рис. 1.6 это ] соответственно.

Отношение искомых дисперсий будет равно

. (3.133)

Величина наряду с величиной может служить еще одной мерой погрешности дискретной аппроксимации непрерывных следящих систем.

Пример 1. Рассмотрим применение полученных выше соотношений для оценки погрешности цифрового интегрирования стационарного экспоненциально-коррелированного случайного процесса . Корреляционная функция и энергетический спектр его, а также энергетический спектр соответствующего дискретного случайного процесса выражаются формулами (1.47).

Величину интеграла

можно рассматривать как величину сигнала в точке , наблюдаемого на выходе непрерывной линейной системы, импульсная переходная характеристика и передаточная функция которой имеют соответственно вид

Вычисление интеграла (3.134) по различным формулам численного интегрирования с равным шагом дискретизации соответствует, как легко видеть, замене данной непрерывной системы эквивалентной импульсной системой по схеме рис. 1.4 с различными типами интерполирующих фильтров. В частности, при использовании формулы прямоугольников и формулы трапеций передаточные функции интерполирующих фильтров будут иметь вид, показанный в табл. 1.1 ("№ 1, 2, 3). В результате дискретизации вычисленное значение интеграла (1.134) будет отличаться от его истинного значения .

Приведенных характеристик достаточно, чтобы, подставив их в выражения (3.129)-(3.132), найти соответствующие оценки погрешности цифрового интегрирования случайного процесса. Рассмотрим, в частности, случай, когда интервал интегрирования в несколько раз больше времени корреляции процесса . Это означает, что полоса пропускания системы с передаточной функцией (3.135) существенно меньше ширины спектра входного сигнала и тем более меньше ширины спектра ошибки интерполяции этого сигнала (§ 1.7, рис. 1.7). В таком случае согласно формулам (3.129), (3.131) дисперсия ошибки цифрового интегрирования (дисперсия разности ) не зависит от типа интерполирующего фильтра (т. е. метода интегрирования) и равна

Заметим, что данный численный пример рассматривался в работе , где иным методом получена формула оценки погрешности цифрового интегрирования случайных процессов. Сравнение численных результатов показывает полное их совпадение.

В заключение этого параграфа необходимо сделать некоторые замечания. Полученные формулы позволяют оценить среднеквадратическую погрешность выходного сигнала при наиболее распространенных методах дискретной аппроксимации непрерывных линейных систем, подверженных стационарному случайному воздействию. В ряде случаев полученные аналитические выражения для оценки отличаются простотой [формулы (3.129) - (3.132), (3.136) - (3.139)], что существенно облегчает их практическое использование. В общих случаях выражения для оценок оказываются более громоздкими.

При решении практических задач методом цифрового моделирования рассмотренные выше приемы оценки погрешности дают скорее лишь некоторое представление о величине погрешности результатов, чем конкретную ее величину, так как практически решаемые задачи содержат обычно значительно более сложные преобразования сигналов и помех, чем простые линейные преобразования.

Чтобы получить дискретную модель сложной непрерывной системы, обладающую требуемой точностью, практически можно использовать следующий довольно эффективный прием. Сначала шаг дискретизации выбирается ориентировочно, исходя из данных выше оценок. Окончательно шаг дискретизации выбирается при реализации цифровой модели на ЦВМ путем проведения нескольких пробных решений задачи для различных последовательно уменьшающихся, например в два раза, значений шага дискретизации, начиная с выбранного значения шага и кончая тем значением шага, когда результаты решения практически перестают изменяться. Разница в результатах решения при выбранном и при минимальном шагах дискретизации дает величину погрешности дискретной аппроксимации.

В некоторых случаях оценку погрешности цифрового моделирования удобно производить путем сравнения результатов при выбранном шаге дискретизации с результатами аналитического решения задачи, если это решение нетрудно получить при некоторых упрощающих условиях. Этот вопрос будет рассмотрен в § 4.2.

При построении экономико-математических моделей возникают задачи замены табличных опытных значений результирующего показателя (зависимая переменная) и фактора (независимая переменная) аналитической аппроксимирующей функцией . Метод построения аппроксимирующей функции носит название метода наименьших квадратов. Опытные данные – это данные наблюдения над эконом-и процессами (стат. данные) в зависимости м/у 2мя переменными Вычисленные значения аппроксимирующей функции при соответствующих значениях фактора обычно отличаются от опытных значений. Эти аналитические значения считают теоретическими, а им соответствующие - опытными значениями. В дальнейшем опытные значения будем принимать за истинные. Для оценки Степень близости теоретических и опытных значений характеризуют погрешность аппроксимации функции. Различают абсолютную и относительную, локальную и среднюю погрешности.

Модуль разность между теоретическим и опытным значением результирующего показателя, вычисленной при конкретном задании фактора , называют абсолютной локальной погрешностью результирующего показателя и обозначают . Кроме абсолютной локальной погрешности рассматривают также относительную локальную погрешность как отношение абсолютной погрешности к модулю опытного значения результирующего показателя

.

Для характеристики погрешности на всем промежутке изменения фактора рассматривают среднюю абсолютную и относительную погрешности. Их вычисляют по следующим соотношениям:

и .

6. Функции спроса и предложения строительных услуг .1)Спрос , где С 0 , С 1 принадл. R.

1. Со>0, C1>0,α<0,p>0. 2 . Со>0, C1<0,α=1. 3 . Со<0, C1>0,α> 2) Предложение – зеркальное отображение теории спроса. Все продавцы стремятся получить на рынке самую высокую цену, и чем выше цена, тем активнее будет расти предложение товаров. Определяющий фактор, влияющий на предложение тов. – издержки пр-ват.е. сумма ден. расходов на пр-во прод-ции.Чем меньше издержки, тем меньше цена. Предложение – совокупность товаров, представленных к продаже по соотв-м, удовл-м товаропроизводителя ценам. Кривая предложения –это кривая предельных издержек фирмы на пр-во кажд. новой единицы продукции. Как видно из графика сниж-е цены p(x) ведет к соотв. измен-ю предлож-я товаров ч, повыш-е цен ведет к росту предл-я. .С2 и С3 зависят от цены товара, числа продавцов на рынке, налогов, технологии пр-ва, цен на ресурсы.

1. С2>0,C3>0,β>1, x>0,p>0. 2. С2>0,C3>0,β=1. 3. С2>0,C3>0,0<β<1. Общее св-во 1, 2, 3 – положительное значение p"(x).

7. Функция спроса по цене. 1)Спрос – это платежеспособная потребность покупателя, т.е. потребность покупателя, располагающего ден. ср-вами для приобретения тов. и усл. На спрос влияют 3 фактора: 1) потребность человека в продукте, 2) цена продукта, 3) уровень ден. доходов потребителя. В основе рыночного спроса на тов. или услугу есть правило(з-н убывающей полезности): Чем выше цена, тем меньше тех, кто согласиться купить данный товар, т.е. уменьшается уровень спроса и наоборот. График имеет вид убывающей кривой, а ее аналит. выр-е: , где С 0 , С 1 принадл. R.

1. Со>0, C1>0,α<0,p>0. 2 . Со>0, C1<0,α=1. 3 . Со<0, C1>0,α>0 (α≠1). Со и С1 – зависят от числа покупателей на рынке, от ден. доходов и вкусов потребителя, от цен конкурентов и цен на замещающие товары. Общее св-во 1, 2, 3 – отрицательное значение x"(p).

Функции спроса (предложения) по цене могут быть как линейными, так и нелинейными. В случае линейной функции она имеет следующий вид: Функция характеризует собой семейства прямых, каждая из которых характеризуется конкретными значениями коэффициентов a и b. Наилучшей для рассматриваемой выборки из всего множества прямых является, та прямая, которая на плоскости xoy расположена «ближе» всего, в определенном смысле, к опытным точкам. В качестве меры близости прямой и некоторой точки на плоскости можно выбрать расстояние между ними. При этом под расстоянием следует понимать модуль разности между опытным (наблюдаемым) значением результирующей величины и теоретическим, вычисленным по формуле при одном и том же значении фактора т.е. (i=1,2,...,n)

Теоретические основы метода сеток. Построение конечно-разностной схемы. Погрешность аппроксимации, устойчивость. Основная теорема метода сеток

2.3 Погрешность аппроксимации

При построении разностной схемы важно знать, насколько хорошо она аппроксимирует исходную дифференциальную задачу.

При замене дифференциальной задачи разностной допускается ошибка -- погрешность аппроксимации. Она характеризуется величиной невязок/

При замене интеграла приближенной квадратурной формулой вносится погрешность аппроксимации дифференциального уравнения разностным. Она характеризуется величиной невязки, если в конечно-разностном уравнении (5) подставить вместо значение точного решения:

Воспользовавшись соотношением (4), получаем простое выражение для вычисления:

которая зависит от шага сетки.

Говорят, что разностная схема (5) аппроксимирует исходную дифференциальную задачу с порядком p, если при. Из (6) следует, что порядок аппроксимации на 1 меньше, чем порядок погрешности используемой квадратурной формулы на интервале .

Чем больший порядок аппроксимации p , тем выше точность решения:

Для обеспечения близости решений разностной и дифференциальной задач необходимо, чтобы при стремлении шагов сетки к нулю разностная задача в пределе совпадала с дифференциальной. Если это требование выполняется, то говорят, что разностная схема аппроксимирует дифференциальную задачу.

Аппроксимация функции методом наименьших квадратов

Вычислительная математика

Существуют четыре источника погрешностей, возникающих в результате численного решения задачи. 1. Математическая модель. Погрешность математической модели связана с ее приближенным описанием реального объекта. Например...

Клеточные пространства

Теорема. Всякое непрерывное отображение одного клеточного пространства в другое гомотопно клеточному отображению. Мы будем доказывать следующее, более сильное утверждение ("относительный вариант" нашей теоремы). Теорема...

Клеточные пространства

Теорема. Если X - клеточное пространство с единственной вершиной (= нульмерной клеткой), не имеющее других клеток размерности

Линейное и нелинейное программирование

Методы аппроксимации функций

Методы аппроксимации функций

Ошибка приближения функции f(x) интерполяционным полиномом n-й степени Ln(x) в точке x определяется разностью. Можно показать, что погрешность Rn(x) определяется следующим выражением. Здесь - производная (n+1) порядка функции f(x) в некоторой точке...

Построение математической модели, описывающей процесс решения дифференциального уравнения

0 1 2,282894 1,282894 1,645818 0,1 1,470387 1,206049 -0,264338 0,069874 0,2 2,173681 1,146702 -1,026979 1,054685 0,3 3,205241 2,104853 -1,100388 1,210853 0,4 4,709109 4,080502 -0,628607 0,395146 0,5 6,894874 7,073649 0,178775 0,031961 0,6 10,066320 11,084294 1,017974 1,036271 0,7 14,663307 16,112437 1,449130 2,099978 0,8 21...

Практическое применение интерполирования гладких функций

По строению (). Но, в общем, это не так и (,), так как интерполирование предполагает приближенное нахождение: () И в связи с этим необходимо говорить о погрешности интерполирования. Заранее сказав, разность этого выражения нужно найти...

Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Метод Ньютона

Информация о предыдущих приближениях корня используется для нахождения последующих приближений не только в методе касательных. В качестве примера другого такого метода мы приведём метод...

Численные методы анализа

Погрешность вычисляется по формуле где h -- шаг сетки, а точка о расположена где-то между i-тым и (i + n)-тым узлами. Примером может служить известная формула (n = 2) . При n = 1 формула может быть получена и из определения производной...

Численные методы анализа

Окончательный результат многократного измерения содержит в себе как случайную, так и приборную погрешности. Случайная погрешность уменьшается с увеличением количества отдельных измерений, а приборная погрешность не меняется...

В любую аналитическую формулу входят постоянные коэффициенты, величина которых существенно влияет на вид функции и на её значение. Следовательно, в нашем случае коэффициенты, будут переменными параметрами, и функция запишется в общем виде:

где - подбираемые коэффициенты, M i - i-ые значения расхода воздуха, n - число оборотов вала.

Согласно методу наименьших квадратов, наилучшими коэффициентами считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной теоретической функции от заданных эмпирических значений будет минимальной. Следовательно, задача состоит в определении коэффициентов таким образом (т.е. в выборе одной кривой из множества), чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей.

где - коэффициенты аппроксимации,

Для того чтобы найти набор коэффициентов, при которых достигается минимум функции S, определяемой формулой (1.1), используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных равенство нулю частных производных.

Таким образом, нахождение коэффициентов, сводится к решению системы:

Если коэффициенты входят линейно, то система дифференциальных уравнений в частных производных преобразуется в систему линейных алгебраических уравнений. Эта система может быть решена любым методом: методом Гаусса, матричным методом, по формулам Крамера и т.д.

Конкретный вид системы (1.3) зависит от того, из какого класса эмпирических формул мы ищем зависимость (1.1).

В случае линейной аппроксимации формула (1.2) примет вид:

Возьмем две частные производные первого порядка и приравняем их к нулю. Система уравнений (1.3) примет вид:

Разделим уравнения на 2 и раскроем скобки:

Вынесем неизвестные и за знак суммы, так как они не зависят от индекса «i», и перенесем слагаемые, не содержащие неизвестных, в правую часть. Окончательно получим систему линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными и:

В случае квадратичной аппроксимирующей зависимости, вида (1.1.1), выполнив аналогичные преобразования, получим следующую систему линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными и:

Оценка статистических параметров системы

Напомним некоторые статистические оценки. Наблюдаемые значения величин n i , M i можно рассматривать как выборочные значения двух случайных величин n и M. По выборочным данным можно найти выборочные средние и выборочные квадратичные отклонения n и M, а также выборочный коэффициент корреляции, а именно:

Для вычисления можно применить и более простые формулы, которые выводятся в курсе теории вероятностей с помощью простых алгебраических преобразований:

Здесь - выборочные средние величин n, M; - выборочные квадратичные отклонения величин n, M; r - выборочный коэффициент корреляции.

Известно, что линейное уравнение (1.5), называемое в статистике уравнением линейной регрессии, проходит через точку, а коэффициент a 2 , называемый в статистике коэффициентом регрессии, связан с коэффициентом корреляции r. Имеют место следующие соотношения:

Коэффициент корреляции характеризует меру линейной связи между величинами n, M и может принимать значения в пределах от -1 до 1. Чем ближе к единице | r |, тем теснее линейная связь между n, M. Если | r | = 1, то M линейно зависит от n, т.е. выполнено соотношение:

поэтому ошибка представления эмпирических данных равна 0.

Оценка точности аппроксимации

аппроксимация excel точность формула

Мера ошибки при аппроксимации функции в соответствии с данным выше определением равна:

С целью оценки относительной погрешности при аппроксимации функции рассматривают величину суммарной погрешности по отношению к общему разбросу данных. Общий разброс данных складывается из отклонений теоретических значений от среднего и эмпирических значений от теоретических. Вводятся обозначения:

В случае линейной функции получим:

В случае квадратичной функции:

По аналогии легко написать формулу для вычисления ошибки аппроксимации функцией любого вида.

Отметим, что для аппроксимирующей функции, линейной относительно параметров, верно:

Относительная ошибка аппроксимации есть отношение

Величина

называется коэффициентом детерминированности и характеризует меру точности аппроксимации табличных данных. Если 2 = 1, то ошибка аппроксимации равна 0 и теоретические значения совпадают с эмпирическими.

Рассказать друзьям