Многокритериальный выбор на языке бинарных отношений.

💖 Нравится? Поделись с друзьями ссылкой

Столкнувшись с необходимостью учета многокритериальности, исследователи стали искать возможные подходы к решению задач оптимального выбора при многих критериях.

Простейшим способом устранения многокритериальности це­лей является перевод задачи выбора в русло однокритериальности, например, путем объединения всех частных (локальных) показателей эффективности fj(x) в один общий (глобальный) критерий качества f(x)= F(f 1 (x) , f 2 (x) ,… f h (x)). Подобный прием носит название свертки критериев.

Каждый частный критерий отражает какое-то отдельное ка­чество варианта решения. Наилучший вариант должен характеризоваться наиболее удачным сочетанием всех этих отдельных качеств. Таким образом, поиск лучшего варианта решения сводится к отысканию экстремума единственной функции f(x)

x* arg max f(x) (3.11)

Остается только установить, как глобальное качество решения зависит от локальных качеств. Вид функции f(x) опреде­ляется тем, каким образом можно представить вклад каждого частного критерия f j (x) в общий критерий качества. Заметим, что для этого должна существовать возможность содержатель­ного сопоставления критериев.

Достаточно популярным способом служит запись глобального критерия в виде суммы локальных критериев (так называемая аддитивная свертка)

или в виде их произведения (мультипликативная свертка)

Формула (3.12) выражает принцип равномерной оптимальности. Им обычно пользуются, когда частные критерии эффективности имеют одинаковую размерность, например, выражены в денежных единицах. Тогда глобальный критерий качества решения будет представлять собой общую ценность варианта, которая слагается из ценностей его отдельных составляющих.

Формула (3.13) отражает принцип справедливого компромисса, в соответствии с которым общее качество решения должно равняться нулю, если хотя бы один из частных критериев эффективности принимает нулевое значение. Подобный подход применяется, например, для оценки общей надежности функциони­рования сложной системы, состоящей из многих частей, узлов и блоков. Интересно, что принцип справедливого компромисса был сформулирован еще английским математиком Ч. Доджсоном (более известным как английский писатель Льюис Кэрролл) в книге «История с узелками».

Существенным недостатком указанных способов свертки кри­териев является равная важность или значимость критериев для ЛПР, при которой низкие оценки по одним критериям можно компенсировать только за счет высоких оценок по другим кри­териям. Вследствие этого лучшим может оказаться вариант решения, сочетающий не самые лучшие критериальные оценки.

Чтобы избежать такого несоответствия, часто используют взвешенные свертки частных критериев эффективности вида

, (3.15),

,

где w j ≥ 0 - вес частного критерия f j (x) . Способ свертки частных критериев и значения их весов задаются ЛПР и отражают его предпочтения.

Некоторым промежуточным вариантом между крайне пессимистическими вариантами и крайне оптимистическими является критерии пессимизма-оптимизма (критерий Гурвица):

где 0≤β≤- «коэффициент пессимизма» или, если хотите, «коэффициент оптимизма». При β=1 оценка превращается в минимальную, а при β=0 она максимально оптимистична. Необходимо подчеркнуть, что определение значения β – это прерогатива руководителя, и с этой точки зрения, оценка чрезвычайно субъективна. А также

где a i – коэффициенты важности критериев (весовые коэффициенты), определяемые в большинстве случае субъективно; ; с – некоторое фиксированное значение критерия f(x i), например, некоторое его усредненное значение; f(x i) - частный i- й показатель (критерий) эффективности; f j (x i) – частный i- й показатель (критерий) эффективности j -й альтернативы (проекта).

Выбор того или иного вида свертки определяется характером взаимосвязей составляющих ее критериев (равнозначные, доминирующие и т.п.), а также некоторыми специальными ограничениями на область значений свертки, вытекающими из специфики конкретной задачи и предпочтений руководителя. Если частные показатели неоднородные, то они либо сводятся к однородным, либо коэффициенты a i учитывают не только важность, но и физическую размерность показателя.

Основная трудность, возникающая при формировании и использовании обобщенных критериев, заключается в сложности определения весовых коэффициентов, на которые возложена функция адекватного отражения степени важности критерия, его физической размерности и иногда других факторов. К недостаткам обобщенных критериев следует также отнести и то, что при оценке они не позволяют учитывать часто встречающуюся иерархическую зависимость результирующего показателя от значений частных показателей.

Однако это не означает, что СППР не должна использовать этот подход к оценке эффективности управляющих решений. Система предлагает его руководителю как один из возможных вариантов.

Многокритериальная оценка альтернатив решения может быть выполнена также на основе правил выбора по Парето . Здесь предпочтительным считается такой проект, для которого не существует другого проекта лучше данного хотя бы по одному показателю и не хуже него по всем остальным.

Описанные правила отбора не позволяют учесть относительную важность критериев оценки. Они нечувствительны к степени отличия значений критериальных показателей, и вероятность ошибки существенно повышается с ростом числа критериев.

Ряд методов анализа и отбора проектов основан на том, что критерий оценки формируется на основе характеристик того или иного выделенного аспекта реализации решения (главного критерия) -затраты, время, риски, вероятности успеха и т.п. В конечном итоге такой подход приводит к постановке и решению той или иной задачи математического программирования, в которой выделенный показатель выступает в качестве критерия, а к значениям остальных показателей предъявляются определенные требования, порождающие область ограничений.

В общем случае это приводит к решению многокритериальной задачи методом последовательных уступок, когда последовательно находится оптимальное решение по каждому из упорядоченных по важности критериев с назначением руководителем на каждом шаге решения задачи уступки величины по каждому из критериев, оптимизируемых на предыдущем шаге.

Пример . Требуется выбрать лучший вариант строительства предприятия из пяти предложенных вариантов A 1 – A 5 . Проект предварительно оценивается по четырем частным показателям эффективности:

f 1 – величина ожидаемой прибыли, которую будет давать предприятие;

f 2 – стоимость строительства предприятия;

f 3 – величина экологического ущерба от строительства;

f 4 – заинтересованность жителей района в строительстве.

Для простоты будем считать, что оценки по каждому из четырех критериев даются по шкале: 5, 4, 3, 2, 1, 0 баллов. Поскольку оценки по второму и третьему критериям необходимо минимизировать, а не максимизировать, как по остальным, то вместо них введем критерии f’ 2 =5- f 2 и f’ 3 =5- f 3 . По результатам экспертизы были получены следующие оценки качества проектов:

y 1 = (4; 3; 4; 3),

y 2 = (5; 3; 3; 3),

y 3 = (2; 4; 2; 4),

y 4 = (5; 3; 2; 3),

y 5 = (4; 4; 3; 4).

Сравним вектор y 1 с остальными векторами по отношению доминирования ≥ на множестве достижимости Y а. В данном случае пары векторов y 1 - у 2 , y 1 – y 3 , y 1 – y 4 , y 1 – y 5 несравнимы по отношению доминирования. Вектор y 1 запоминается как эффективный. Далее сравнивается вектор у 2 с векторами y 3 , y 4 , y 5 . Пары векторов у 2 - y 3 , у 2 - y 5 несравнимы. Так как у 2 > y 4 , вектор у 4 удаляется из рассмотрения как доминируемый, а вектор у 2 запоминается как эффективный. Для сравнения остаются векторы y 3 и y 5 . Поскольку y 5 > y 3 , то вектор y 3 удаляется из рассмотрения как доминируемый. В итоге остаются три вектора y 1 , y 2 и y 5 , образующие паретову границу Y* С Y a исоответствующие эффективные варианты А 1 , А 2 , А 5 , среди которых и следует сделать окончательный выбор.

Чтобы еще больше сузить паретово множество Y* и выделить единственный наилучший вариант решения, необходима еще какая-то дополнительная информация, которую может дать только ЛПР.

В многокритериальных задачах, когда из первоначальной постановки не удается выделить критерий, преобладающий по важности над другими - главный критерий, довольно часто критерии искусственно комбинируют посредством агрегирующей функции, с параметрами - весовыми коэффициентами, назначаемыми каждому критерию согласно его относительной важности. Этот подход часто называют скаляризацией или сверткой векторного критерия. А получающуюся при этом параметризованную функцию, сводящую исходную многокритериальную задачу к однокритериальной, - обобщенным, агрегированным, глобальным критерием или суперкритерием. Наиболее широко распространенным видом обобщенного критерия является линейная свертка, когда глобальный критерий представляется в виде суммы (иногда произведения) частных критериев, умноженных на соответствующие весовые коэффициенты.

При применении этого способа определенные трудности вызывает правильный выбор весовых коэффициентов, проблематична интерпретация получаемых результатов. Использовать рассмотренный прием образования обобщенного критерия имеет смысл только в тех случаях, когда интерес представляет сумма отдельных критериальных функций. В общем же случае происходит просто замена одних неопределенностей другими, замаскированная математическими выкладками .

Существуют также случаи, когда довольно проблематично назначить каждому критерию определенный весовой коэффициент, соответствующий его важности относительно остальных. Тогда прибегают к свертке критериев где весовые коэффициенты не отражают относительной важности критериев, а изменяясь в определенных пределах, способствуют тем самым локализации точек в множестве Парето. При этом еще больше возрастает роль ЛПР, т.к. при выборе весовых коэффициентов он руководствуется в основном собственным опытом и интуицией, что также требует от него определенной квалификации.

Неоднократно отмечались ошибки и противоречия, которые делает человек при назначении весов критериев. Достаточно обстоятельный обзор различных методов назначения весов подводит к выводу, что не существует корректных методов решения человеком этой задачи. Такое поведение человека при решении многокритериальных зада является повторяющимся и устойчивым.

Имеются результаты экспериментов, из которых следует, что человек назначает веса критериев с существенными ошибками по сравнению с объективно известными, что назначаемые веса противоречат его непосредственным оценкам альтернатив и т.д. Хотя дискуссия о возможности использования весов в методах принятия решений еще продолжается, полученных данных уже достаточно, чтобы считать эту операцию достаточно сложной для ЛПР .

Суммируя сказанное можно сделать следующий вывод. Метод сверток применялся и применяется наиболее часто, но имеет труднопреодолимые недостатки :

  • - не всегда потеря качества по одному критерию компенсируется приращением по другому. «Оптимальное» по свертке решение может характеризоваться низким качеством некоторых частных критериев и в связи с этим будет неприемлемым;
  • - не всегда можно задать веса критериев. Зачастую известна лишь сопоставимая важность критериев, иногда нет никакой информации о важности;
  • - результат сильно зависит от предпочтений ЛПР, который чаще всего назначает веса, исходя из интуитивного представления о сравнительной важности критериев;
  • - величина функции цели, полученная по свертке, не имеет никакого физического смысла;
  • - многократный запуск алгоритма по свертке может давать только несколько различных точек Парето (или одну и ту же) даже в случае, когда в действительности этих точек очень много;
  • - данный подход не способен генерировать истинные Парето-оптимальные решения в условиях невыпуклых поисковых пространств, что является серьезным препятствием при решении многих практических задач.

Итак, для решения любой многокритериальной задачи необходимо учитывать сведения об относительной важности частных критериев.

В некоторых многокритериальных задачах частные критерии строго упорядочены по важности так, что следует добиваться приращения более важного критерия за счет любых потерь по всем остальным менее важным критериям. Но в большинстве случаев возникает ситуация, когда выделить главный или упорядочить критерии по важности не удается. Тогда зачастую прибегают к свертке критериев в обобщенный критерий. Применение данного подхода к формированию множества Парето, также как методов последовательных уступок и выделения основного частного критерия, связано с рядом возникающих при этом трудностей, что ставит вопрос о целесообразности использования подобных подходов и необходимости разработки методов, лишенных их недостатков.

К тому же, характерной чертой, объединяющей 3 рассмотренных подхода, является то, что в каждом из них задача многокритериальной оптимизации сводится к одной или нескольким задачам однокритериальной оптимизации.

Таким образом, теряется суть решаемой задачи, ее отличительная особенность - одновременный учет многих критериев. А сами методы должны работать многократно, чтобы сгенерировать множество точек Парето с тем, чтобы дальше выполнить оценку решения, значительно увеличивая затрачиваемые при этом вычислительные ресурсы.

Другая очень распространенная группа методов скаляризации векторной задачи математического программирования - свертка критериев.

Существует большое количество разных видов сверток . Теоретически все они базируются на подходе, связанном с понятием функции полезности лица, принимающего решение.

При данном подходе предполагается, что лицо, принимающее решение, всегда имеет функцию полезности, независимо от того, может ли лицо, принимающее решение задать ее в явном виде (т.е. дать ее математическое описание). Эта функция отображает векторы критериев на действительную прямую так, что большее значение на этой прямой соответствует более предпочтительному вектору критериев. Смысл разных сверток состоит в том, чтобы из нескольких критериев получить один «коэффициент качества» (сводный критерий), приближенно моделируя таким образом неизвестную (не заданную в явном виде) функцию полезности лица, принимающего решение. Наиболее популярной сверткой является метод взвешенных сумм с точечным оцениванием весов. При этом задается вектор весовых коэффициентов критериев, характеризующий относительную важность того или иного критерия:

A = {ak ,k = 1~K}. (64)

Весовые коэффициенты обычно используются в нормированном виде и удовлетворяют равенству:

X ak = 1, ak > 0, Vk е K , (65)

т.е. предполагается, что весовые коэффициенты неотрицательны. Каждый критерий умножается на свой весовой коэффициент, а затем все взвешенные критерии суммируются и образуют взвешенную целевую функцию, значение которой интерпретируются как «коэффициент качества» полученного решения. Полученная скаляризованная функция максимизируется на допустимой области ограничений.

Получается однокритериальная (скалярная) задача математического программирования:

F0 = max X af (X). (66)

В результате решения данной задачи получается точка оптимума X0.

Основным достоинством данной свертки является то, что с ней связаны классические достаточные и необходимые условия оптимальности по Парето (теоремы Карлина).

Теорема Карлина 1.

В выпуклой задаче многокритериальной оптимизации точка X0 е S оптимальна по Парето, если существует вектор весовых коэффициентов A0 = {a° > 0, k = 1,K}, для которого выполняется соотношение:

X«Оf0(X0) = maxX«0h (X). (67)

Теорема Карлина 2.

Если в выпуклой задаче многокритериальной оптимизации точка X0 е S Парето-оптимальна, то существует вектор весовых коэффициентов A0 = {a° > 0, к = 1,К}, для которого выполняется соотношение:

X«0f^X°) = maxX«0fk (X). (68)

«h (X) =ma„xXakJkк=1 40eS к =1

Согласно данным теоремам, данную свертку можно использовать для получения Парето-оптимальных точек.

Примером данной свертки может служить итоговый рейтинг надежности банка Кромонова, полученный как аддитивная свертка ряда коэффициентов.

Достоинством данного метода является то, что он согласно теореме Карлина генерирует Парето-оптимальные точки. Однако ему присущ целый ряд фундаментальных недостатков. Во-первых, неявная функция полезности лица, принимающего решения, как правило, нелинейна, поэтому «истинные» веса критериев (т.е. такие веса, при которых градиент взвешенное целевой функции совпадает по направлению в градиентом функции полезности) будут меняться от точки к точке, поэтому можно говорить лишь о локально подходящих весах, кроме того, часто лицо, принимающее решение вообще не может задать весовые коэффициенты. Во-вторых, далеко не всегда потеря качества по одному из критериев компенсируется приращением качества по другому. Поэтому полученное решение, оптимальное в смысле единого суммарного критерия, может характеризоваться низким качеством по ряду частных критериев и быть поэтому абсолютно неприемлемым. В-третьих, полученное решение часто бывает неустойчиво, т. е. малым приращениям весовых коэффициентов соответствуют большие приращения целевых функций. В-четвертых, свертка критериев разной физической природы не позволяет интерпретировать значение взвешенной целевой функции. В-пятых, значительные затруднения могут возникнуть в случае сильной корреляции между критериями.

Некоторые из вышеперечисленных недостатков могут быть скорректированы. Так, в случае разной физической (экономической) природы критериев возможна их нормализация и последующая свертка нормализованных критериев. Чтобы исключить неприемлемо низкие значения отдельных критериев, можно наложить дополнительные ограничения на эти критерии.

Другим методом борьбы с данным недостатком - неприемлемо низкими значениями отдельных критериев при хорошем значении суммарного критерия - является применение сверток не аддитивного, а мультипликативного вида:

F0 = max П (af (X))Рк. (69)

Однако данная свертка не получила большого распространения ввиду того, что существуют аналогичные, но более перспективные виды сверток.

Так, существует свертка вида: (70)

minF0 =X| f (X)V

fк Наиболее широкое применение данная свертка получила при p = 2, которая трактуется как минимизация суммы квадратов относительных отклонений функционалов от своих достижимых оптимальных значений. Данная точка в случае равноценности критериев показывает решение, наиболее близкое к недостижимой «идеальной» точке (в которой все критерии принимают свое максимальное значение). Однако данной свертке также свойственен следующий распространенный недостаток: «хорошее» значение сводного критерия достигается ценой низких значений некоторых частных критериев.

Тема 10: Формирование решений в условиях многокритериальности

Вопросы:

10.1. Основные подходы к решению многокритериальных задач. Система критериев. Методы «свертки» критериев

10.2. Решения, оптимальные по Парето

10.3. Процедура многокритериального сравнения и выбора объектов («Электра»)

Критерий – это правило или показатель, позволяющий оценивать и сравнивать анализируемые объекты (альтернативные решения, результаты деятельности, варианты производства и т.д.). Критерии могут быть объективными (например, рентабельность) и субъективными (например, престижность), формальными и содержательными, количественными и качественными.

На рис. 5.6 представлена классификация ситуаций принятия решений в зависимости от количества критериев и фактора неопределенности.

Рис. 5.6. Классификация ситуаций принятия решений

По сложности решения делятся на однокритериальные и многокритериальные.

1. Однокритериальные методы выбора . Считается известным:

Исходное множество альтернатив ;

Оценки результатов выбираемых альтернатив ;

Критерий выбора или .

В процессе решения задачи опреде­ляется альтернатива А*, для которой или .

2. Многокритериальные методы выбора . В достаточно большом количестве случаев принятия решений приходится учитывать не один, а несколько критериев.

Пример : Выбор интегрированной информационной системы предприятия осуществляется по следующим критериям :

1. Соответствие функций системы требованиям, выработанным в процессе анализа и построения информационной модели предприятия.

2. Соответствие системы современным технологическим стандартам (архитектура клиент-сервер, используемые СУБД, возможность распределенной работы и интеграция с Интернет).

3. Возможности системы по настройке и изменению.

4. Уровень сложности сопровождения и администрирования.

5. Адаптивность системы к конкретным условиям деятельности.

6. Стоимость системы.

7. Другие.

Известен целый ряд методов решения многокритериальных задач , которые можно разбить на следующие группы:

1. Сведение многих критериев к одному путем введения весовых коэффициентов для каждого критерия (более важный критерий получает больший вес).

2. Минимизация максимальных отклонений от наилучших значений по всем критериям.

3. Оптимизация одного критерия (почему-либо признанного наиболее важным), а остальные критерии выступают в роли дополнительных ограничений.

4. Упорядочение (ранжирование) множества критериев и последовательная оптимизация по каждому из них.

5. Поиск согласованного по некоторым правилам экспертного решения.

Чаще всего задачу выбора пытаются решить на основе построения интегрального (обобщающего) критерия . Для этого используются разнообразные способы «свертки» показателей, т.е. построение различных обобщающих показателей, прежде всего, аддитивных и мультипликативных.

Аддитивный обобщающий показатель (критерий) получается как взвешенная сумма оценок по частным показателям (критериям).

Мультипликативный обобщающий показатель строится как взвешенное произведение оценок по отдельным показателям.

,

где pi – значение i-го показателя (критерия);

li – вес (значимость) i-го показателя (критерия).

Общей особенностью данных обобщающих критериев является то, что они предусматривают возможность малой степени достижения одних целей за счет большей степени достижения других. При этом в оценке «стираются» различия отдельных критериев. Также проблемой является определение весов критериев.

В целом ряде хозяйственных ситуаций нежелательно сведение оценок объектов по разным критериям к одной, так как противоречивость критериев имеет существенное значение.

Для преодоления этого недостатка исследователи стараются представить пространство критериев. Одним из возможных средств решения этой задачи являются различные графические представления альтернатив в пространстве критериев. Примером подобного подхода, получившего широкое распространение в маркетинговых исследованиях, является так называемый «профильный анализ» (табл. 5.6). Пример:

Таблица 5.6

«Профили» программных продуктов

ПП Критерии ПП - 1 ПП - 2 ПП - 3 ПП - 4 ПП - 5
В С Н В С Н В С Н В С Н В С Н
Универсальность
Интегрируемость
Модульность
Развиваемость
Надежность
Защита информации
Соответствие техническим стандартам
Квалификация
Стоимость ПП
Стоимость обслуживания
Экономическая эффективность

Обозначения приоритетов:

В – высокий,

С – средний,

Н – низкий.

В таблице сравниваются 5 программных продуктов (ПП) по нескольким критериям.

Целью изучения данной темы является ознакомление студентов с методами многокритериального выбора.

Задачи:

Ознакомить студентов с методами измерения показателей, используемых в качестве критериев при принятии управленческих решений.

Описать подходы к формированию системы показателей, используемых при многокритериальном выборе.

Дать представление о методах многокритериального выбора и особенностях их применения.

1. Шкалы измерения

Наиболее «простой», точнее говоря, слабой является номинальная шкала. “Nome на латыни – имя, то есть речь идёт о шкале наименований. В этой шкале различаются только классы объектов, например, резиденты и нерезиденты. Разумеется, шкала может содержать и больше классов (отраслевой классификатор и т.п.), хотя дихотомическое деление является важным частным случаем.

Номинальная шкала используется, в основном, для решения двух задач:

  • определение принадлежности к классу на основании некоторого признака (например, пол),
  • выявление количества проявлений признака.

Во втором случае накопленная статистика подвергается обработке численными методами с целью анализа того или иного явления.

Более «сильной» является ординальная (порядковая) шкала. Её также часто называют шкалой рангов. Задача, решаемая с помощью ординальной шкалы, - это упорядочивание объектов (альтернатив, с точки зрения процесса принятия управленческого решения) по предпочтению. Различают отношения нестрогого предпочтения (этот объект не хуже того) и строгого («больше – меньше»).

Измерения в ранговой шкале не отвечают на вопрос «насколько больше?». Отчасти эта проблема решается увеличением числа рангов. Общая рекомендация при конструировании ранговых шкал состоит в составлении не слишком дробной шкалы, так как в противном случае затрудняется экспертное оценивание, однако количество рангов должно быть достаточным, чтобы улавливать все существенные различия.

Типичным примером измерений в ранговых шкалах являются различные рейтинги. Определённую роль играет использование этой шкалы в микроэкономике, так как позволяет снять некоторые спорные постулаты о природе ценностей.

Следует учесть, что расстояние в ранговых шкалах задаются не так, как в привычной, абсолютной. Например, один из способов введения расстояния в ранговой шкале – определение количества попарных перестановок соседних рангов, которое необходимо для получения нормативного упорядочивания.

Следующая «по силе» - интервальная шкала. Эта шкала классифицирует объекты по принципу «больше на определённое количество единиц – меньше на определённое количество единиц». Следует различать абсолютную и относительную величину интервалов. Например, если студент А решил задачу за 2 сек., а студент Б за 22 сек., то в абсолютном выражении интервал будет таким же, как и в том случае, когда студент В решает задачу за 222 сек., а Г - за 242 сек. Понятно, что «значимость» интервала в 20 сек. в рассмотренных случаях может быть различной.

Интервальная шкала даёт точное представление об отношении длин отрезков, однако в ней даже зная расстояние между 1-ой и 2-ой и 2-ой и 3-ей точкой нельзя точно указать расстояние между 1-ой и 3-ей точками, так как их взаимное расположение не определено однозначно. В интервальной шкале в этой ситуации можно делать однозначные заключения только о соотношении длин отрезков, но не их удалённости от какой-либо точки.

Абсолютная шкала получается из интервальной введением точки отсчёта. Это решает обсуждавшиеся выше проблемы. Именно для абсолютной шкалы справедливы обычно используемые на практике операции с расстояниями.

2. Требования к построению системы критериев

Наряду с проблемой измерения важной проблемой является построение системы показателей, отражающих генеральную цель. В литературе 1 сформулирован целый ряд требований, которые необходимо соблюдать, чтобы использование системы показателей было оправданным. Это требования полноты, действенности, разложимости, неизбыточности и минимальной размерности.

Полнота

Система показателей должна включать критерии, характеризующие все основные аспекты деятельности хозяйственной системы. Смысл этого требования сводится к тому, чтобы дать возможность ЛПР принять управленческое решение.

Действенность (операционность)

Используемые показатели должны быть однозначно понимаемы, измеримы и доступны оценке.

Разложимость

Это требование связано с ограниченными возможностями человека. Исследования показали, что одновременная работа с числом объектов более семи неоправданна. Таким образом, при большом числе критериев система может разбиваться на более мелкие группы показателей. Например, системы, оценивающие качество продукции, разбиваются на группы показателей, характеризующие функциональные свойства изделий, их надёжность, эргономичность, а также показатели стандартизации и унификации. Получается «дерево критериев», и ЛПР одновременно работает только с одной «веткой».

Неизбыточность

Дублирование показателей «засоряет» информационные каналы, снижает как скорость, так и качество сбора и обработки информации.

Минимальная размерность

Смысл этого требования также заключается в повышении эффективности работы ЛПР. В систему показателей должно входить минимально возможное число критериев. В данном случае это достигается за счёт снижения количества показателей благодаря агрегированию информации, отсечению не принципиальных характеристик и т.п.

3. Методы многокритериального выбора

Метод свёртки критериев

Стандартный приём «борьбы» с многокритериальным выбором это переход к однокритериальной задаче с использованием метода свёртки критериев.

Свёртка критериев означает построение интегрального показателя на основе частных критериев. Интегральный показатель I рассчитывается или как взвешенная сумма частных показателей (выражение (1) - аддитивная форма) или как их произведение (выражение (2) – мультипликативная форма), опять же нормированное на соответствующие веса (важность критериев).

K – частный критерий,

a – вес критерия, причём ,

N – количество критериев,

v - номер критерия.

Использование такого метода как свёртка критериев предполагает, что частные критерии измеряются в абсолютной шкале. Кроме того, критерии должны быть независимы друг от друга. Это означает, что справедливы выражения (3) и (4), то есть отношение предпочтения определяется либо критерием «2» - выражение (3), - либо критерием «1» - выражение (4).

(xi1, xi2) < (xi1,xj2) => (xj1, xi2) < (xj1, xj2) (3)

(xi1, xi2) < (xj1,xi2) => (xi1, xj2) < (xj1, xj2) (4)

Вес критериев, как правило, определяется экспертным методом.

Типичным примером использования метода свёртки критериев является построение интегрального показателя качества продукции.

В литературе встречается утверждение, что мультипликативная и аддитивная формы интегрального показателя эквивалентны. В подтверждение этого ссылаются на взаимную однозначность преобразования интегрального показателя из одной формы в другую, например, с использованием перехода в логарифмическую шкалу и обратно. Следует отметить, что такой переход в общем случае не сохраняет тех же самых отношений предпочтения, то есть может привести к разным выборам. Эквивалентный в смысле сохранения отношения предпочтения переход от мультипликативной формы к аддитивной требует применения весовых коэффициентов, зависящих от значения критерия 2 .

Лексикографический метод

Лексикографический метод предполагает, что имеющийся ряд критериев упорядочен по важности.

Для сравниваемых объектов сначала измеряются значения наиболее важного критерия. Предпочтительным оказывается тот объект, для которого значение этого критерия лучше.

В том случае, когда значения сравниваемых объектов по наиболее важному критерию совпадают, то переходят к сравнению на основании следующего по важности критерия.

Процедура заканчивается на той итерации, на которой удаётся упорядочить объекты по предпочтительности, или когда проведены сравнения по всем критериям.

Наверное, наиболее известный пример использования лексикографического метода – определение места команды в спортивном состязании, например, чемпионате по футболу. В этом случае победитель определяется по количеству набранных очков. В случае их равенства последовательно используются дополнительные показатели - количество побед, разность мячей, результаты очных встреч и т.п.

Выделение множества Парето

В наибольшей степени идеологии многокритериального выбора соответствует процедура выделения множества Парето (ядра графа).

Множество Парето образует набор таких объектов, что переход от одного к другому обязательно повысит значение хотя бы одного критерия и ухудшит значение минимум одного критерия. Предполагается, что каждый из критериев характеризует качественно отличный от других аспект, свойство объекта и т.п. Так как сравнение разнокачественных вещей не имеет смысла, то упорядочиванию подлежат только те пары объектов, в которых один не хуже другого по всем параметрам. Если при этом по одному или нескольким критериям один объект будет лучше другого, то говорят, что он доминирует. В множестве Парето ни один объект не доминирует над другим. Собственно, процедура нахождения множества Парето и заключается в нахождении доминирующих объектов и их исключении из рассмотрения.

В таблице 1 приведены значения двух важнейших критериев, характеризующих инвестиционные проекты: прибыль и сумма капитальных вложений для семи проектов.

Таблица 1.

Характеристика инвестиционных проектов

Показатель

Проект №1

Проект №2

Проект №3

Проект №4

Проект №5

Проект №6

Проект №7

Прибыль, млн. руб.

Кап. вложения, млн. руб.

Попарное сравнение проектов показывает, что проект №5 доминирует проект №2, а проект №1 доминирует проект №3. Эти проекты должны быть исключены из рассмотрения. Каждый из остальных проектов в каком-то смысле лучше другого оставшегося, а в каком-то хуже: или он даёт больше прибыли, но требует больших капитальных вложений, или наоборот. Проекты 1, 4, 5, 6 и 7 оптимальны по Парето. Выбор одного из них требует дополнительных соображений.

ВЫВОДЫ

Для оценки достижения цели организации используется целый ряд показателей – критериев, так как цель хозяйственной системы носит многомерный характер. Каждый из критериев должен быть количественно измерим, определён на одной из шкал измерений.

При принятии управленческих решений могут быть использованы все известные виды шкал: номинальная, ранговая, интервальная и абсолютная.

Важной задачей является построение системы показателей, отражающих генеральную цель ЛПР. В литературе сформулирован целый ряд требований, которые необходимо соблюдать, чтобы использование системы показателей было оправданным. Это требования полноты, действенности, разложимости, неизбыточности и минимальной размерности.

Наиболее распространённым методом решения многокритериальных задач является построение интегральных показателей на основе метода свёртки критериев.

Для использования метода свёртки критериев необходимо измерение значений критериев в абсолютной шкале, а также соблюдение требования независимости критериев.

Лексикографический метод решения многокритериальных задач заключается в последовательном применении упорядоченных по важности критериев.

В случае, когда разнокачественность сравниваемых объектов принципиальна, единственным адекватным подходом является выделение множества Парето.

Множество Парето образует набор таких объектов, что переход от одного к другому обязательно повысит значение хотя бы одного критерия и ухудшит значение минимум одного критерия. Выбор одного из объектов требует дополнительных соображений.

Вопросы для самопроверки

  1. Какие шкалы используются для измерения значений показателей – критериев при принятии управленческих решений?
  2. В каких целях используются номинальная шкала?
  3. Каковы особенности измерения в ранговой шкале?
  4. Какие требования предъявляются к системе показателей, являющихся критериями при принятии управленческого решения?
  5. Какие существуют методы многокритериального выбора?
  6. Каковы особенности процедуры свёртки критериев?
  7. Практикумы

    Название практикума Аннотация

    Презентации

    Название презентации Аннотация
Рассказать друзьям