Tatarin30, фракталы и длина береговой линии. Ii три классических фрактала - совершенно ручные

💖 Нравится? Поделись с друзьями ссылкой

Пример парадокса: если береговая линия Великобритании измеряется отрезками по 100 км, то её длина составляет примерно 2 800 км. Если используются отрезки по 50 км, то длина равна приблизительно 3 400 км, что на 600 км больше.

Длина береговой линии зависит от способа её измерения. Поскольку для участка суши можно выделить изгибы любого размера, от сотен километров до долей миллиметра и меньше, нельзя очевидным образом подобрать размер наименьшего элемента, который должен быть взят для измерения. Следовательно, нельзя однозначно определить и периметр данного участка. Существуют различные математические приближения при решении данной задачи.

Основным методом оценки длины границы или береговой линии было наложение N равных отрезков длиной l на карту или аэрофотоснимок с помощью циркуля. Каждый конец отрезка должен принадлежать измеряемой границе. Исследуя расхождения в оценке границ, Ричардсон обнаружил то, что сейчас называется эффектом Ричардсона : масштаб измерений обратно пропорционален общей длине всех отрезков. То есть чем короче используемая линейка, тем длиннее измеряемая граница. Таким образом, испанские и португальские географы попросту руководствовались измерениями разных масштабов.

Наиболее поразительным для Ричардсона оказалось то, что когда величина l стремится к нулю, длина побережья стремится к бесконечности. Изначально Ричардсон полагал, опираясь на Евклидову геометрию, что эта длина достигнет фиксированной величины, как это происходит в случае с правильными геометрическими фигурами. Например, периметр правильного многоугольника, вписанного в окружность, приближается к длине самой окружности с увеличением числа сторон (и уменьшением длины каждой стороны). В теории геометрических измерений такая гладкая кривая, как окружность, которая может быть приближённо представлена в виде небольших отрезков с заданным пределом, называется спрямляемой кривой.

Спустя более десяти лет после завершения Ричардсоном своей работы Мандельброт разработал новую ветвь математики - фрактальную геометрию - для описания таких неспрямляемых комплексов, существующих в природе, как бесконечная береговая линия . Его собственное определение фрактала как основы его исследования таково :

Я придумал слово фрактал , взяв за основу латинское прилагательное fractus . Соответствующий латинский глагол frangere означает ломать : создавать нерегулярные фрагменты. Поэтому разумно, что, помимо «фрагментный», fractus также должно означать и «нерегулярный».

Ключевым свойством фракталов является самоподобие , заключающееся в проявлении одной и той же общей фигуры на любом масштабе. Береговая линия воспринимается как чередование заливов и мысов. Гипотетически, если данная береговая линия имеет свойство самоподобия, то независимо от того, насколько сильно масштабируется та или иная часть, всё равно проявляется аналогичная картина меньших заливов и мысов, наложенная на бо́льшие заливы и мысы, вплоть до песчинок. На таких масштабах береговая линия оказывается мгновенно изменяющейся, потенциально бесконечной нитью со стохастическим расположением заливов и мысов. В таких условиях (в отличие от гладких кривых) Мандельброт утверждает: «Длина береговой линии оказывается недостижимым понятием, скользящим между пальцами тех, кто пытается его понять» .

где длина береговой линии L является функцией от единицы измерения ε и аппроксимируется выражением из правой части. F - константа, D - параметр Ричардсона, зависящий от самой береговой линии (Ричардсон не дал теоретического объяснения этой величины, однако Мандельброт определил D как нецелочисленную форму размерности Хаусдорфа , позже - фрактальной размерности. Иными словами, D - это практически измеренное значение «неровности»). Перегруппировав правую часть выражения, получаем:

где Fε -D должно быть количеством единиц ε, необходимых для получения L. Фрактальная размерность - это число измерений объекта, используемое для аппроксимации фрактала: 0 - для точки, 1 - для линии, 2 - для площадных фигур. Поскольку ломаная линия, измеряющая длину берега, не распространяется в одном направлении и вместе с тем не представляет собой площадь, значение D в выражении занимает промежуточное положение между 1 и 2 (для побережья обычно менее 1,5). Оно может быть интерпретировано как толстая линия или полоса шириной 2ε. Более «разбитые» побережья имеют большее значение D и тем самым L оказывается длиннее при одинаковых ε. Мандельброт показал, что D не зависит от ε.

В целом береговые линии отличаются от математических фракталов, поскольку они формируются с использованием многочисленных мелких деталей, создающих модели только статистически .

В реальности на береговых линиях отсутствуют детали меньше 1 см [ ] . Это связано с эрозией и другими морскими явлениями. В большинстве мест минимальный размер гораздо больше. Поэтому модель бесконечного фрактала не подходит для береговых линий.

Из практических соображений выбирают минимальный размер деталей равным порядку единиц измерения. Так, если береговая линия измеряется в километрах, то небольшие изменения линий, гораздо меньшие одного километра, просто не принимаются во внимание. Для измерения береговой линии в сантиметрах должны быть рассмотрены все небольшие вариации размером около одного сантиметра. Однако на масштабах порядка сантиметров должны быть сделаны различные произвольные нефрактальные допущения, например, там, где устье присоединяется к морю, или в тех местах, где должны быть проведены измерения на широких ваттах . Кроме того, использование различных методов измерения для разных единиц измерения не позволяет сделать преобразование этих единиц с помощью простого умножения.

Для определения государственных территориальных вод строят так называемые изгибы побережья канадской провинции Британская Колумбия составляют более 10 % длины канадской береговой линии (с учётом всех островов Канадского Арктического архипелага) - 25 725 км из 243 042 км на линейном расстоянии, равном всего 965 км

Длина береговой линии

Измерима ли она?
Вправе ли мы приводить в учебниках длину
береговой линии и не оконфузимся ли,
спрашивая эту цифру с учеников?

К.С. ЛАЗАРЕВИЧ

На уроках географии мы оперируем множеством статистических показателей. Большинство из них на вид очень просты и четки: столько-то миллионов человек, столько-то миллионов тонн угля, столько-то километров. Но это если не вдумываться. А стоит только копнуть любую цифру поглубже - и она перестает быть четкой. Иногда же - рассыпается в прах. Вот примеры.
Открываем недавно изданный и только что поступивший в продажу Атлас мира (М.: ФГУП Производственное картосоставительское объединение «Картография», 2003.). В таблице «Государства и территории мира» находим: «Столица Франции - Париж (2 125,2 тыс. жителей). Если ученик приведет на экзамене такую цифру, будет ли экзаменатор удовлетворен? Ведь Париж - один из крупнейших центров Европы и никак не меньше Петербурга. Но в приведенной цифре нет ошибки: это Париж в административных границах города Парижа. А в границах реально сложившегося городского сгустка - это десятимиллионник. Очень многое зависит от того, как считать. Сказанное не значит, что мы можем принять от ученика в качестве ответа любую цифру в диапазоне от 2,2 до 10; приводя то или иное число, учащийся должен понимать, что за ним стоит, что и как измерено.
Миллион тонн высококалорийного угля и угля бурого - разные миллионы.
Но вот, казалось бы, километры. Километр - он и в Африке километр. И что уж измеренное в километрах можно подвергнуть сомнению? Но, оказывается, и приводя длины в километрах, автор учебника должен сначала подумать. Учитель же, пользуясь учебником, также должен подвергнуть цифру критическому анализу, прежде чем транслировать ее ученикам и требовать ее запоминания. Читаем учебник для 10-го класса: «Канада выходит к трем океанам, и общая протяженность ее береговой линии (около 250 тыс. км) не имеет себе равных в мире». Как была измерена береговая линия, что мерили, как мерили, чем мерили? Как вообще можно измерить береговую линию?

Неправильные кривые по карте можно измерять при помощи курвиметра - колесико этого прибора катят по кривой, тщательно выписывая каждую извилину. Однако извилистость береговой линии часто бывает столь велика, что курвиметром по ней не пройти. Приходится вышагивать по кривой циркулем-измерителем. Наиболее удобная длина шага - 2 мм. В разных масштабах этот шаг соответствует, конечно, разным расстояниям, точной длины такое измерение никогда не даст, так как каждый шаг спрямляет кривую на небольшом отрезке, но относительная погрешность более или менее сохраняется.
Давайте, ради примера, попробуем измерить длину береговой линии Чукотского а.о. Возьмем карту из Школьного атласа по географии России (масштаб 1: 22 000 000) и двухмиллиметровым шагом циркуля (44 км) прошагаем все чукотское побережье. Результат будет 4300 км (98 шагов циркуля). Произведем то же измерение по карте масштаба
1: 7 500 000. Здесь мы уже насчитаем 345 двухмиллиметровых (15 км) шажков, то есть
5 200 км. Логично предположить, что если в измерениях будет использована карта еще большего масштаба, измеренная береговая линия станет еще протяженнее.
Поставим еще один эксперимент. Длина береговой линии Ленинградской обл. по карте
1: 22 000 000 - 300 км, по карте 1: 2 500 000 - 555 км, а по топографической карте
1: 500 000 - 670 км. При этом длина береговой линии одного только Выборгского залива (где берега особо изрезаны заливчиками и бухточками), измеренная по топографической карте, составляет 338 км, тогда как по школьному атласу - 65 км (разница более чем в
5 раз!).
Таким образом, наблюдается закономерное увеличение длины измеренной береговой линии с укрупнением масштаба. Причина не только в том, что двухмиллиметровый шаг циркуля соответствует всё меньшей величине на местности, но главным образом в том, что сама линия, даже если ее очень точно измерить и перевести в соответствии с масштабом в километры, действительно становится длиннее (рис. 1). На карте России у берега Ленинградской обл. угадываются лишь Выборгский залив, Невская губа и небольшие изгибы южного берега Финского залива. На карте масштаба 1: 2 500 000 очертания Выборгского залива уже довольно сложные, а на юге ясно видны Копорская и Лужская губы. На полумиллионной карте в пределах Выборгского залива множество других мелких заливов, некоторые из которых имеют собственные имена (зал. Балтиец, бухта Ключевская), и лишь южный берег Финского залива выглядит мало изменившимся по сравнению с предыдущим масштабом, там изрезанность берега гораздо меньше.

Как же установить точную длину береговой линии?
Этой целью задался английский метеоролог Ричардсон, выбрав в качестве полигона свой родной остров - Великобританию. Он и пришел к выводу об увеличении длины береговой линии с увеличением масштаба карты, по которой эту длину измеряют (рис. 2). Есть ли предел такого увеличения? Едва ли. Длину береговой линии увеличивает каждая небольшая песчаная коса, вдающаяся в море, каждая ложбинка, создающая крохотный залив, каждый камешек, который обтекает вода. Даже на самой крупномасштабной карте их не видно, между тем в действительности все эти неровности береговой линии существуют.

Приводят много примеров того, как использование математических методов позволяет сделать географические исследования более убедительными, более достоверными. Здесь же произошло обратное: географическое исследование - изучение длины береговой линии - способствовало возникновению нового математического понятия. Английское название этого понятия - fractal, по-русски же оно еще окончательно не устоялось и встречается в трех вариантах: фрактал (родительный и творительный падежи будут фрактала , фракталом ), фракталь в мужском роде (фракталя , фракталем ) и фракталь в женском роде (фрактали , фракталью ); за последнее время, кажется, склоняются к фракталу .
Фрактал - это линия, каждый фрагмент которой бесконечно усложняется, длина каждого фрагмента и всей линии постоянно увеличивается. В качестве примера можно привести фигуру, обычно называемую снежинкой Коха, хотя название это неверно: построила эту снежинку в начале ХХ в. Хельга фон Кох, и склонять ее фамилию не следует.
Возьмем равносторонний треугольник. Разделим каждую его сторону на три равные части и на среднем отрезке каждой стороны построим равносторонний треугольник. Получится правильная шестиконечная звезда, фигура с шестью выпуклыми углами и шестью входящими. Разделим каждую ее сторону (а этих сторон 12) на три равные части и на среднем отрезке каждой стороны снова построим равносторонний треугольник. Получится фигура уже с 48 сторонами, с 18 выпуклыми и 30 входящими углами. Повторяя эту операцию бесконечное число раз (сделать это можно, конечно, лишь мысленно), мы получим фигуру, площадь которой постоянно увеличивается, но все медленнее, постепенно приближаясь к некоторому пределу (рис. 3). Периметр же этой фигуры увеличивается беспредельно, так как каждый раз, когда мы строим на стороне фигуры новый равносторонний треугольничек, сколь бы мал он ни был, три равных отрезка этой стороны заменяются на четыре таких же и потому длина каждой стороны (и следовательно всего периметра) увеличивается в 4/3 раза, а любое число больше единицы в степени, равной бесконечности (а построение мы делаем бесконечное число раз), стремится к бесконечности.

Рис. 3

Снежинка Кох -

разные стадии построения

Граница снежинки будет представлять собой что-то вроде широкой, мохнатой линии, заполняющей собою всю приграничную область этой фигуры. Понятия «широкая линия», «толстая поверхность», казалось бы, абсурдные с точки зрения классической математики (линия там не имеет ширины, а поверхность - толщины), с развитием теории фракталов приобрели права гражданства. Считается, что линия одномерна, она имеет только длину, положение точки на ней определяется одной координатой; поверхность двумерна, она имеет площадь, положение точки на ней определяется двумя координатами; тело трехмерно, оно имеет объем, нужны уже три координаты. А теория фракталов вводит понятие дробной размерности: линия не стала двумерной, но уже перестала быть одномерной. Неподготовленному человеку это довольно трудно понять (нельзя же чихнуть полтора раза), но если мы вспомним, как ведет себя береговая линия - не только на карте, но и в природе, как она меняется, если смотреть на нее, присев на корточки, потом выпрямившись во весь рост, потом поднявшись на гору, потом взлетев на самолете или космическом корабле, мы не столько поймем, сколько почувствуем, какую сложную систему представляет собой эта линия; для нее определенно мало одной характеристики - длины.
И теория фракталов, родившаяся из географических исследований, уже сама приходит на помощь географии. Еще не разработан, но определенно имеет перспективы метод изучения рельефа как фрактала. Рассматривая рельеф в общем виде, рисуя его на мелкомасштабной карте, мы видим горные хребты, плато, глубокие долины. В среднем масштабе вырисовываются уже холмы, небольшие долины, овраги. Еще крупнее - и видны кочки, ветровая рябь на песке. Но и это не предел: есть отдельные камешки, песчинки. В практическом отношении все это важно потому, что нужно научиться правильно отбирать объекты для изображения на картах разных масштабов; одна из главных ошибок составителей карт - несоответствие содержания карты ее масштабу, карта или недогружена, или перегружена.
А что же все-таки делать с длиной береговой линии? Отказаться ее измерять, потому что она неизмерима?
Нет, это не выход. Просто, приводя длину береговой линии, следует всегда указывать, по картам какого масштаба она измерялась, каким способом. И обязательно оговаривать при этом, учитывалась береговая линия островов или нет. Без указания масштаба карт и того, учтены острова или нет, всякие данные о длине береговой линии теряют смысл. К сожалению, даже в источниках, претендующих на сугубую солидность, можно встретить страшные нелепости. Например, известный сайт ЦРУ «The World Factbook». Здесь для каждой страны и океана приведены данные по береговой линии, но способ измерения не указан. В результате береговая линия Канады оказывается больше 200 тыс. км, Северного Ледовитого океана - 45,4 тыс. км, Атлантического - 111,9 тыс. км (данные приведены - не подумайте плохого! - с точностью до километра). Канаду считали с учетом островов, это несомненно; как считали океаны, неизвестно, но береговая линия двух из трех океанов, омывающих Канаду, в сумме меньше береговой линии одной только Канады. Для Норвегии приведена цифра 21 925 км и дано примечание: «Материк 3419 км, большие острова 2413 км, длинные фьорды, многочисленные маленькие острова и мелкие изгибы [в буквальном переводе зазубрины ] береговой линии 16 093 км». В сумме получается как раз указанная общая длина береговой линии. Но вот почему берега фьордов - не часть береговой линии материка, почему длина зазубрин приплюсована к длине береговой линии материка, какие острова считать большими - обо всем этом приходится только догадываться. Совершенно бесспорные данные в этой таблице приведены только для Андорры, Австрии, Ботсваны, Венгрии, Свазиленда и подобных им стран, выхода к морю не имеющих, - написано: «0 км».

Общеизвестный факт:

Пример парадокса: если береговая линия Великобритании измеряется отрезками по 100 км, то её длина составляет примерно 2 800 км. Если используются отрезки по 50 км, то длина равна приблизительно 3 400 км, что на 600 км больше.

Длина береговой линии зависит от способа её измерения. Поскольку для участка суши можно выделить изгибы любого размера, от сотен километров до долей миллиметра и меньше, нельзя очевидным образом подобрать размер наименьшего элемента, который должен быть взят для измерения. Следовательно, нельзя однозначно определить и периметр данного участка. Существуют различные математические приближения при решении данной задачи.


Аналогичный эффект существует для рынков, покольку ему присущи свойства самоподобия или фрактальности и изменение масштаба рассмотрения процесса изменения цен влияет на длину графика.
Причем тут Татарин30? В общем-то ни причем.Этот факт общеизвестен и не склоняется только ленивым. Но именно Татарин30 в конце концов заставил меня использовать этот факт в моих действиях на рынке. Точнее, не сам Татарин30, а его интервью Тимофею Мартынову. Сорри, ссылку не даю, потому что не помню.
В чем суть моих выводов...
Длину береговой линии можно мерить в разных масштабах. И длину рыночных движений тоже
Можно торговать большие движения, они есть, но их немного. По ним можно получить большую прибыль, но по ним можно получить и достаточно большой убыток, если рынок откажется следовать в направлении сделанной ставки.
Но можно мерить длину графика в малых масштабах. Не заморачиваясь стратегическими перспективами движения рыночных цен и глобальными целями и фиксируя свой профит по малым делениям измерительной линейки/
В чем плюсы такой стратегии - жесткий контроль убытка, если рынок пошел не туда.
В чем минусы - недобор профита, если рынок пошел туда...
С учетом того факта, что большие тренды бывают гораздо реже, чем малые движения, и того свойства, что большое движение в каком-либо направлении будет реализовано в виде множества импульсов и откатов против стратегического направления движения рынка, данный подход в долгосрочной перспективе должен дать больше плюсов, чем минусов.
Да, верно оценить направление и получить профит приятно. Но и цена ошибки при долгосрочной торговле тоже велика. А путь в 1000 ли начинается с одного шага. Поэтому лучше среагировать на этот один шаг и зафиксировать прибыль, чем ждать поворота в прежнем направлении пересиживая убыток.
И о фракталах. Билли Вильямс с его фракталами тут совершенно ни причем.

Фракталами называются геометрические объекты: линии поверхности, пространственные тела, имеющие сильно изрезанную форму и обладающие свойством самоподобия. Слово фрактал произошло от слова fractus и переводится как дробный, ломаный. Самоподобие, как основная характеристика означает, что он более или менее единообразно устроен в широком диапазоне масштабов. Так, при увеличении маленькие фрагменты фрактала получаются очень похожими на большие. В идеальном случае такое самоподобие приводит к тому, что фрактальный объект оказывается инвариантным относительно растяжений, т.е. ему, как говорят, присуща дилатационная симметрия. Она предполагает неизменность основных геометрических особенностей фрактала при изменении масштаба.

Конечно, для реального природного фрактала существует некоторый минимальный масштаб длины, такой, что на расстояниях его основное свойство - самоподобие - пропадает. Кроме того, на достаточно больших масштабах длин, где - характерный геометрический размер объектов, это свойство самоподобия также нарушается. Поэтому свойства природных фракталов рассматриваются лишь на масштабах l, удовлетворяющих соотношении . Такие ограничения являются довольно естественными, потому что, когда мы приводим в качестве примера фрактала - изломанную, негладкую траекторию броуновской частицы, то мы понимаем, что образ является очевидной идеализацией. Дело в том, что на маленьких масштабах сказывается конечность времени соударения. При учете этих обстоятельств, траектория броуновской частицы становится плавной кривой.

Отметим, что свойство самоподобия характерно лишь для регулярных фракталов. Если вместо детерминированного способы построения включить в алгоритм их создания некоторый элемент случайности (как это бывает, например, во многих процессах диффузионного роста кластеров, электрическом пробое и т.д.), то возникают так называемые случайные фракталы. Основное их отличие от регулярных состоит в том, что свойства самоподобия справедливы только после соответствующего усрединения по всем статистически независимым реализациям объекта. При этом увеличенная часть фрактала не точно идентична исходному фрагменту, однако их статистические характеристики совпадают. Но изучаемый нами фрактал является одним из классических фракталов, а поэтому регулярным.

Длина береговой линии

Первоначально понятие фрактала возникло в физике в связи с задачей о нахождении береговой линии. При ее измерении по имеющейся карте местности выяснилась любопытная деталь - чем более крупномасштабная берется карта, тем более длинной оказывается эта береговая линия.

Рисунок 1 - Карта береговой линии

Пусть, например, расстояние по прямой между расположенными на береговой линии точками A и B равно R (см. рис. 1). Тогда, чтобы измерить длину береговой линии между этими точками, мы расставим по берегу жестко связанные друг с другом вешки так, что расстояние между соседними вешками составляло бы, например, l=10км . Длину береговой линии в километрах между точками A и B мы примем тогда равной чиcле вешек минус одна, помноженному на десять. Следующее измерение этой длины мы произведем подобным же образом, но расстояние между соседними вешками сделаем уже равным l=1км.

Оказывается, что результаты этих измерений будут различными. При уменьшении масштаба l мы будем получать все большие значения длины. В отличие от гладкой кривой, линия морского побережья оказывается зачастую настолько изрезанной (вплоть до самых маленьких масштабов), что с уменьшением звена l величина L - длина береговой линии - не стремится к конечному пределу, а увеличивается по постепенному закону

где D - некоторый показатель степени, который называется фрактальной размерностью береговой линии. Чем больше величина D , тем более изрезанной является эта береговая линия. Происхождение зависимости (1) интуитивно понятно: чем меньший масштаб мы используем, тем меньшие детали побережья будут учтены и дадут вклад в измеряемую длину. Наоборот, увеличивая масштаб, мы спрямляем побережье, уменьшая длину L .

Таким образом, очевидно, что для определения длины береговой линии L с помощью жесткого масштаба l (например, с помощью циркуля с фиксированным раствором), необходимо сделать N=L/l шагов, причем величина L меняется c l так, что N зависит от l по закону. В результате с уменьшением масштаба, длина береговой линии неограниченно возрастает. Это обстоятельство резко отличает фрактальную кривую от обычной гладкой кривой (типа окружности, эллипса), для которой предел длины аппроксимирующей ломаной L при стремлении к нулю длины ее звена l конечен. В результате для гладкой кривой ее фрактальная размерность D=1 , т.е. совпадает с топологической.

Приведем величины фрактальных размерностей D для различных береговых линий. Например, для Британских островов D ? 1. 3 , а для Норвегии D ? 1. 5 . Фрактальная размерность побережья Австралии D ? 1. 1. Близкими к единице оказываются и фрактальные размерности других побережий.

Выше было введено понятие о фрактальной размерности береговой линии. Дадим теперь общее определение этой величины. Пусть d - обычная Евклидова размерность пространства, в котором находится наш фрактальный объект (d=1 - линия, d=2 - плоскость, d=3 - обычное трехмерное пространство). Покроем теперь этот объект целиком d -мерными "шарами" радиуса l . Предположим, что нам потребовалось для этого не менее чем N (l) шаров. Тогда, если при достаточно малых l величина N (l ) меняется по степенному закону:

то D - называется Хаусдорфовой или фрактальной размерностью этого объекта.

При изучении географии вы, конечно, помните, что каждая из стран имеет свою площадь территории и длину границы, в частности, если страна омывается каким-либо морем или океаном, то она имеет морскую границу определенной длины. Задумывались ли вы когда-либо, как эту длину границы определяют? В 1977 г. американский математик Бенуа Мандельброт поставил перед собой следующий вопрос: чему равна длина береговой линии Великобритании? Оказалось, что корректно ответить на этот "детский вопрос" не удается. В 1988 г. норвежский ученый Енс Федер решил выяснить, чему равна длина береговой линии Норвегии. Обратите внимание на то, что побережье Норвегии сильно изрезано фиордами. Другие ученые задавали себе аналогичные вопросы о длинах береговых линий побережий Австралии, Южной Африки, Германии, Португалии и других стран.

Мы можем измерить длину береговой линии только приблизительно. По мере того как мы уменьшаем масштаб, нам приходится измерять все больше маленьких мысов и бухт - длина береговой линии увеличивается, и объективного предела уменьшению масштаба (и, тем самым, увеличению длины береговой линии) просто не существует; мы вынуждены признать, что эта линия имеет бесконечную длину. Мы знаем, что размерность прямой линии равна одному, размерность квадрата - двум, а размерность куба - трем. Мандельброт предложил использовать для измерения "чудовищных" кривых дробные размерности - размерности Хаусдорфа - Безиковича . Бесконечно изломанные кривые, подобные береговой линии - не вполне линии. Они как бы "заметают" часть плоскости, подобно поверхности. Но они и не поверхности. Значит, резонно предположить, что их размерность больше одного, но и меньше двух, то есть это дробно-размерные объекты.

Норвежский ученый Е. Федер , предложили другой способ измерения длины береговой линии. Карту покрыли квадратной сеткой, ячейки которой имеют размеры е ? е. Видно, что число N(e) таких ячеек, которые покрывают береговую линию на карте, приближенно равно числу шагов, за которое можно обойти по карте береговую линию циркулем с раствором e. Если е уменьшать, то число N(e) будет возрастать. Если бы длина береговой линии Великобритании имела определенную длину L, то число шагов циркуля с раствором (или число квадратных ячеек N(e), покрывающих береговую линию на карте) было бы обратно пропорционально e, а величина Ln (e)=N(e) ? e при уменьшении к стремилась бы к постоянной L. К сожалению, расчеты, проведенные многими учеными, показали, что это не совсем так. При уменьшении шага измеренная длина возрастает. Оказалось, что взаимосвязь измеренной длины L(e) и шага e может быть описана приближенным соотношением

Коэффициент D называется фрактальной размерностью. Слово фрактал происходит от латинского слова fractal - дробный, нецелый. Множество называется фрактальным, если оно имеет нецелую размерность. Для Норвегии D=1,52, а для Великобритании D=1,3. Таким образом, береговая линия Норвегии и Великобритании - фрактал с фрактальной размерностью D. Расчеты были также проведены и для окружности, и фрактальная размерность окружности D=1, что и следовало ожидать. Таким образом, фрактальная размерность - обобщение обычной размерности.

Как это понимать и что бы это могло означать? Математики стали вспоминать, было ли что-либо подобное раньше в математике или нет? И вспомнили! Рассмотрим часть некоторой линии АВ на плоскости (рис. 3). Возьмем квадрат с ребром e и спросим себя: сколько нужно квадратиков N(е) с ребром длиной е, чтобы покрыть линию АВ такими квадратиками? Видно, что N(e) пропорционально

Аналогично, если замкнутую ограниченную область на плоскости (рис. 4) покрыть квадратной сеткой со стороной e, то минимальное число квадратиков со стороной е, покрывающих область, будет равно

Если мы рассмотрим замкнутую ограниченную область в трехмерном пространстве и возьмем кубик с ребром e, то количество кубиков, заполняющих эту область,

Определим фрактальную размерность исходя из выше изложенного в общем случае следующим образом:

Возьмем логарифм от левой и правой частей

Переходя к пределу при e, стремящемся к нулю (N, стремящемся к бесконечности), получим

Это равенство является определением размерности которая обозначается d.

Рассказать друзьям