Уравнения. «Скрытые» линейные уравнения, или важность тождественных преобразований

💖 Нравится? Поделись с друзьями ссылкой

Для решения линейных уравнений используют два основных правила (свойства).

Свойство № 1
или
правило переноса

При переносе из одной части уравнения в другую член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Давайте разберём правило переноса на примере. Пусть нам требуется решить линейное уравнение.

Вспомним, что у любого уравнения есть левая и правая часть.

Перенесем число « 3 » из левой части уравнения в правую.

Так как в левой части уравнения у числа « 3 » был знак « + », значит в правую часть уравнения « 3 » перенесется со знаком « − ».

Полученное числовое значение « x = 2 » называют корнем уравнения.

Не забывайте после решения любого уравнения записывать ответ.

Рассмотрим другое уравнение.

По правилу переноса перенесем « 4x » из левой части уравнения в правую, поменяв знак на противоположный.

Несмотря на то, что перед « 4x » не стоит никакого знака, мы понимаем, что перед « 4x » стоит знак « + ».

Теперь приведем подобные и решим уравнение до конца.

Свойство № 2
или
правило деления

В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число.

Но нельзя делить на неизвестное!

Разберемся на примере, как использовать правило деления при решении линейных уравнений.

Число « 4 », которое стоит при « x », называют числовым коэффициентом при неизвестном.

Между числовым коэффициентом и неизвестном всегда стоит действие умножение.

Чтобы решить уравнение необходимо сделать так, чтобы при « x » стоял коэффициент « 1 ».

Давайте зададим себе вопрос: «На что нужно разделить « 4 », чтобы
получить « 1 »?». Ответ очевиден, нужно разделить на « 4 ».

Используем правило деления и разделим левую и правую части уравнения на « 4 ». Не забудьте, что делить нужно и левую, и правую части.

Используем сокращение дробей и решим линейное уравнение до конца.

Как решить уравнение, если « x » отрицательное

Часто в уравнениях встречается ситуация, когда при « x » стоит отрицательный коэффициент. Как, например, в уравнении ниже.

Чтобы решить такое уравнение, снова зададим себе вопрос: «На что нужно разделить « −2 », чтобы получить « 1 »?». Нужно разделить на « −2 ».

Линейные уравнения. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

1. Линейное уравнение

Это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна.

2. Линейное уравнение с одной переменной имеет вид:

Где и – любые числа;

3. Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид:

Где, и – любые числа.

4. Тождественные преобразования

Чтобы определить является ли уравнение линейным или нет, необходимо произвести тождественные преобразования:

  • перенести влево/вправо подобные члены, не забыв изменить знак;
  • умножить/разделить обе части уравнения на одного и тоже число.
  • Что такое «линейные уравнения»

    или в устной форме – трем друзьям дали по яблок из расчета, что всего в наличии у Васи яблок.

    И вот ты уже решил линейное уравнение
    Теперь дадим этому термину математическое определение.

    Линейное уравнение это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна . Оно выглядит следующим образом:

    Где и – любые числа и

    Для нашего случая с Васей и яблоками мы запишем:

    — «если Вася раздаст всем троим друзьям одинаковое количество яблок, у него яблок не останется»

    «Скрытые» линейные уравнения, или важность тождественных преобразований

    Несмотря на то, что на первый взгляд все предельно просто, при решении уравнений необходимо быть внимательным, потому что линейными уравнениями называются не только уравнения вида, но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду. Например:

    Мы видим, что справа стоит, что, по идее, уже говорит о том, что уравнение не линейное. Мало того, если мы раскроем скобки, то получим еще два слагаемых, в которых будет, но не надо торопиться с выводами ! Прежде, чем судить, является ли уравнение линейным, необходимо произвести все преобразования и таким образом, упростить исходный пример. При этом преобразования могут изменять внешний вид, но никак не саму суть уравнения.

    Иными словами данные преобразования должны быть тождественными или равносильными . Таких преобразований всего два, но они играют очень, ОЧЕНЬ важную роль при решении задач. Рассмотрим оба преобразования на конкретных примерах.

    Перенос влево — вправо.

    Допустим, нам необходимо решить такое уравнение:

    Еще в начальной школе нам говорили: «с иксами – влево, без иксов – вправо». Какое выражение с иксом стоит справа? Правильно, а не как не. И это важно, так как при неправильном понимании этого, казалось бы простого вопроса, выходит неверный ответ. А какое выражение с иксом стоит слева? Правильно, .

    Теперь, когда мы с этим разобрались, переносим все слагаемые с неизвестными в левую сторону, а все, что известно – в правую, помня, что если перед числом нет никакого знака, например, то значит число положительно, то есть перед ним стоит знак « ».

    Перенес? Что у тебя получилось?

    Все, что осталось сделать – привести подобные слагаемые. Приводим:

    Итак, первое тождественное преобразование мы успешно разобрали, хотя уверена, что ты и без меня его знал и активно использовал. Главное – не забывай про знаки при числах и меняй их на противоположные при переносе через знак равенства!

    Умножение-деление.

    Начнем сразу же с примера

    Смотрим и соображаем: что нам не нравится в этом примере? Неизвестное все в одной части, известные – в другой, но что-то нам мешает… И это что-то – четверка, так как если бы ее не было, все было бы идеально – икс равен числу – именно так, как нам и нужно!

    Как можно от неё избавиться? Перенести вправо мы не можем, так как тогда нам нужно переносить весь множитель (мы же не можем ее взять и оторвать от), а переносить весь множитель тоже не имеет смысла…

    Пришло время вспомнить про деление, в связи с чем разделим все как раз на! Все – это означает и левую, и правую часть. Так и только так! Что у нас получается?

    Посмотрим теперь другой пример:

    Догадываешься, что нужно сделать в этом случае? Правильно, умножить левую и правую части на! Какой ты получил ответ? Правильно. .

    Наверняка все про тождественные преобразования ты и так уже знал. Считай, что мы просто освежили эти знания в твоей памяти и настало время для нечто большего — Например, для решения нашего большого примера:

    Как мы уже говорили ранее, глядя на него, не скажешь, что данное уравнение является линейным, но нам необходимо раскрыть скобки и осуществить тождественные преобразования. Так что начнем!

    Для начала вспоминаем формулы сокращенного умножения, в частности, квадрат суммы и квадрат разности. Если ты не помнишь, что это такое и как раскрываются скобки, настоятельно рекомендую почитать тему «Формулы сокращенного умножения», так как эти навыки пригодятся тебе при решении практически всех примеров, встречающихся на экзамене.
    Раскрыл? Сравниваем:

    Теперь пришло время привести подобные слагаемые. Помнишь, как нам в тех же начальных классах говорили «не складываем мухи с котлетами»? Вот напоминаю об этом. Складываем все отдельно – множители, у которых есть, множители, у которых есть и остальные множители, в которых нет неизвестных. Как приведешь подобные слагаемые, перенеси все неизвестные влево, а все, что известно вправо. Что у тебя получилось?

    Как ты видишь, иксы в квадрате исчезли, и мы видим совершенно обычное линейное уравнение . Осталось только найти!

    И напоследок скажу еще одну очень важную вещь про тождественные преобразования – тождественные преобразования применимы не только для линейных уравнений, но и для квадратных, дробных рациональных и других. Просто нужно запомнить, что при переносе множителей через знак равенства мы меняем знак на противоположный, а при делении или умножении на какое-то число, мы умножаем/делим обе части уравнения на ОДНО и то же число.

    Что еще ты вынес из этого примера? Что глядя на уравнение не всегда можно прямо и точно определить, является ли оно линейным или нет. Необходимо сначала полностью упростить выражение, и лишь потом судить, каким оно является.

    Линейные уравнения. Примеры.

    Вот тебе еще пару примеров для самостоятельной тренировки – определи, является ли уравнение линейным и если да, найди его корни:

    Ответы:

    1. Является.

    2. Не является.

    Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

    Произведем тождественное преобразование – разделим левую и правую часть на:

    Мы видим, что уравнение не является линейным, так что искать его корни не нужно.

    3. Является.

    Произведем тождественное преобразование – умножим левую и правую часть на, чтобы избавиться от знаменателя.

    Подумай, почему так важно, чтобы? Если ты знаешь ответ на этот вопрос, переходим к дальнейшему решению уравнения, если нет – обязательно загляни в тему «ОДЗ», чтобы не наделать ошибок в более сложных примерах. Кстати, как ты видишь, ситуация, когда невозможна. Почему?
    Итак, продолжаем и преобразовываем уравнение:

    Если ты без труда со всем справился, поговорим о линейных уравнениях с двумя переменными.

    Линейные уравнения с двумя переменными

    Теперь перейдем к чуть более сложному — линейным уравнениям с двумя переменными.

    Линейные уравнения с двумя переменными имеют вид:

    Где, и – любые числа и.

    Как ты видишь, вся разница только в том, что в уравнение добавляется еще одна переменная. А так все то же самое – здесь нет иксов в квадрате, нет деления на переменную и т.д. и т.п.

    Какой бы привести тебе жизненный пример. Возьмем того же Васю. Допустим, он решил, что каждому из 3-ех друзей он даст одинаковое количество яблок, а яблока оставит себе. Сколько яблок нужно купить Васе, если каждому другу он даст по яблоку? А по? А если по?

    Зависимость количества яблок, которое получит каждый человек к общему количеству яблок, которое необходимо приобрести будет выражена уравнением:

    • – количество яблок, которое получит человек (, или, или);
    • – количество яблок, которое Вася возьмет себе;
    • – сколько всего яблок нужно купить Васе с учетом количества яблок на человека.

    Решая эту задачу, мы получим, что если одному другу Вася даст яблоко, то ему необходимо покупать штук, если даст яблока – и т.д.

    И вообще. У нас две переменные. Почему бы не построить эту зависимость на графике? Строим и отмечаем значение наших, то есть точки, с координатами, и!

    Как ты видишь, и зависят друг от друга линейно , отсюда и название уравнений – «линейные ».

    Абстрагируемся от яблок и рассмотрим графически различные уравнения. Посмотри внимательно на два построенных графика – прямой и параболы, заданными произвольными функциями:

    Найди и отметь на обоих рисунках точки, соответствующие.
    Что у тебя получилось?

    Ты видишь, что на графике первой функции одному соответствует один , то есть и линейно зависят друг от друга, что не скажешь про вторую функцию. Конечно, ты можешь возразить, что на втором графике так же соответствует икс — , но это только одна точка, то есть частный случай, так как ты все равно можешь найти такой, которому соответствует не только один. Да и построенный график никак не напоминает линию, а является параболой.

    Повторюсь, еще раз: графиком линейного уравнения должна быть ПРЯМАЯ линия .

    С тем, что уравнение не будет линейным, если у нас идет в какой-либо степени – это понятно на примере параболы, хотя для себя ты можешь построить еще несколько простых графиков, например или. Но я тебя уверяю — ни один из них не будет представлять собой ПРЯМУЮ ЛИНИЮ.

    Не веришь? Построй, а затем сравни с тем, что получилось у меня:

    А что будет, если мы разделим что-то на, например, какое-то число? Будет ли линейная зависимость и? Не будем рассуждать, а будем строить! Например, построим график функции.

    Как-то не выглядит построенное прямой линией… соответственно, уравнение не линейное.
    Подведем итоги:

    1. Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна.
    2. Линейное уравнение с одной переменной имеет вид:
      , где и – любые числа;
      Линейное уравнение с двумя переменными:
      , где, и – любые числа.
    3. Не всегда сразу можно определить, является ли уравнение линейным или нет. Иногда, чтобы понять это, необходимо произвести тождественные преобразования перенести влево/вправо подобные члены, не забыв изменить знак, или умножить/разделить обе части уравнения на одного и тоже число.
    4. Комментарии

      Распространение материалов без согласования допустимо при наличии dofollow-ссылки на страницу-источник.

      Политика конфиденциальности

      Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

      Сбор и использование персональной информации

      Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

      От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

      Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

      Какую персональную информацию мы собираем:

    5. Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
    6. Как мы используем вашу персональную информацию:

    7. Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
    8. Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
    9. Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
    10. Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
    11. Раскрытие информации третьим лицам

      Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

    12. В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
    13. В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
    14. Защита персональной информации

      Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

      Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

      Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

      Спасибо за сообщение!

      Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

      Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

      Уравнение - это равенство, содержащее букву, знамение которой нужно найти. Решение уравнения - это тот набор значений букв, при котором уравнение превращается в верное равенство:

      Напомним, что для решения уравнении надо слагаемые с неизвестным перенести в одну часть равенства, а числовые слагаемые в другую, привести подобные и получить такое равенство:

      Из последнего равенства определим неизвестное по правилу: «один из множителей равен частному, деленному на второй множитель».

      Так как рациональные числа а и Ь могут иметь одинаковые и разные знаки, то знак неизвестного определяется по правилам деления рациональных чисел.

      Порядок решения линейных уравнений

      Линейное уравнение необходимо упростить, раскрыв скобки и выполнив действия второй ступени (умножение и деление).

      Перенести неизвестные в одну сторону от знака равенства, а числа - в другую сторону от знака равенства, получив тождественное заданному равенство,

      Привести подобные слева и справа от знака равенства, получив равенство вида ax = b .

      Вычислить корень уравнения (найти неизвестное х из равенства x = b : a ),

      Выполнить проверку, подставив неизвестное в заданное уравнение.

      Если получим тождество в числовом равенстве, то уравнение решено верно.

      Особые случаи решения уравнений

      1. Если уравнение задано произведением, равным 0, то для его решения используем свойство умножения: «произведение равно нулю, если один из сомножителей или оба сомножителя равны нулю».

      27 (x - 3) = 0
      27 не равно 0, значит x - 3 = 0

      У второго примера два решения уравнения, так как
      это уравнение второй степени:

      Если коэффициенты уравнения являются обыкновенными дробями, то прежде всего надо избавиться от знаменателей. Для этого:

      Найти общий знаменатель;

      Определить дополнительные множители для каждого члена уравнения;

      Умножить числители дробей и целые числа на дополнительные множители и записать все члены уравнения без знаменателей (общий знаменатель можно отбросить);

      Перенести слагаемые с неизвестными в одну часть уравнения, а числовые слагаемые - в другую от знака равенства, получив равносильное равенство;

      Привести подобные члены;

      Основные свойства уравнений

      В любой части уравнения можно приводить подобные слагаемые или раскрывать скобку.

      Любой член уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.

      Обе части уравнения можно умножать (делить) на одно и то же число, кроме 0.

      В примере выше для решения уравнения были использованы все его свойства.

      Линейные уравнения. Решение линейных уравнений. Правило переноса слагаемого.

      Правило переноса слагаемого.

      При решении и преобразовании уравнений зачастую возникает необходимость переноса слагаемого на другую сторону уравнения. Заметим, что слагаемое может иметь как знак «плюс», так и знак «минус». Согласно правилу, перенося слагаемое в другую часть уравнения, нужно изменить знак на противоположный. Кроме того, правило работает и для неравенств.

      Примеры переноса слагаемого:

      Сначала переносим 5x

      Обратите внимание, что знак «+» изменился на «-», а знак «-» на «+». При этом не имеет значения, переносимое слагаемое число или переменная, либо выражение.

      Переносим 1-е слагаемое в правую сторону уравнения. Получаем:

      Обратите внимание, что в нашем примере слагаемое — это выражение (−3x 2 (2+7x)) . Поэтому нельзя отдельно переносить (−3x 2) и (2+7x) , так как это составляющие слагаемого. Именно поэтому не переносят (−3x 2 2) и (7x) . Однако мы модем раскрыть скобки и получить 2 слагаемых: (−3x‑ 2) и (−3×2 7x) . Эти 2 слагаемых можно переносить отдельно друг от друга.

      Таким же образом преобразовывают неравенства:

      Собираем каждое число с одной стороны. Получаем:

      2-е части уравнения по определению одинаковы, поэтому можем вычитать из обеих частей уравнения одинаковые выражения, и равенство будет оставаться верным. Вычитать нужно выражение, которое в итоге нужно перенести в другую сторону. Тогда по одну сторону знака «=» оно сократится с тем, что было. А по другую сторону равенства выражение, которое мы вычли, появится со знаком «-».

      Это правило зачастую используется для решения линейных уравнений. Для решения систем линейных уравнений используются другие методы.

      Основы алгебры/Правило переноса слагаемого

      Перенесём первое слагаемое в правую сторону уравнения. Получим:

      Перенесём все числа в одну сторону. В итоге имеем:

      Примеры, иллюстрирующие доказательство Править

      Для уравнений Править

      Допустим мы хотим перенести все иксы из левой части уравнения в правую. Вычтем из обеих частей 5 x

      Теперь нужно проверить, совпадают ли левая и правая части уравнения. Заменим неизвестную переменную получившимся результатом:

      Теперь можно привести подобные слагаемые:

      Перенесём сначала 5x из левой части уравнения в правую:

      Теперь перенесём число (−6) из правой части в левую:

      Заметьте, знак плюс поменялся на минус, а знак минус - на плюс. Причём неважно, является ли переносимое слагаемое числом, переменной или же целым выражением.

      Две части уравнения по определению равны, поэтому можно вычесть из обеих частей уравнения одинаковое выражение, и равенство останется верным. По одну сторону знака «равно» оно сократится с тем, что было. По другую сторону равенства, выражение, которое мы вычли, появится со знаком «минус».

      Правило для уравнений доказано.

      Для неравенств Править

      Следовательно, 4 - корень уравнения 5x+2=7x-6. Так как для него тождество доказано, то и для неравенств тоже, по определению.

      Решение уравнений, правило переноса слагаемых

      Цель урока

      Образовательные задачи урока :

      — Уметь применять правило переноса слагаемых при решении уравнений;

      Развивающие задачи урока:

      — развивать самостоятельную деятельность учащихся;

      — развивать речь (давать полные ответы грамотным, математическим языком);

      Воспитательные задачи урока:

      — воспитывать умение правильно делать записи в тетрадях и на доске;

      ?Оборудование:

    15. Мультимедиа
    16. Интерактивная доска
    17. Просмотр содержимого документа
      «урок Решение уравнений 6 кл»

      УРОК МАТЕМАТИКИ 6 КЛАСС

      Учитель: Тимофеева М. А.

      Цель урока : изучение правила переноса слагаемых из одной части уравнения в другую.

      Образовательные задачи урока :

      Уметь применять правило переноса слагаемых при решении уравнений;

      Развивающие задачи урока:

      развивать самостоятельную деятельность учащихся;

      развивать речь (давать полные ответы грамотным, математическим языком);

      Воспитательные задачи урока:

      воспитывать умение правильно делать записи в тетрадях и на доске;

      Основные этапы урока

      1. Оргмомент, сообщение цели урока и формы работы

      «Если Вы хотите научиться плавать,

      то смело входите в воду,

      а если хотите научиться решать уравнения,

      2. Сегодня мы начинаем изучать тему: «Решение уравнений» (Слайд 1)

      Но вы уже учились решать уравнения! Тогда что же мы будем изучать?

      — Новые способы решения уравнений.

      3. Повторим пройденный материал (Устная работа) (Слайд 2)

      3). 7m + 8n – 5 m – 3n

      4). – 6a + 12 b – 5a – 12b

      5). 9x – 0,6y – 14x + 1,2y

      Уравнение пришло,
      тайн немало принесло

      Какие выражения являются уравнениями? (Слайд 3)

      4. Что называется уравнением?

      Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число. (Слайд 4)

      Что значит решить уравнение?

      Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что их нет.

      Решим устно уравнения. (Слайд 5)

      Какое правило мы используем при решении?

      — Нахождение неизвестного множителя.

      Запишем несколько уравнений в тетрадь и решим их используя правила нахождения неизвестного слагаемого и уменьшаемого: (Слайд 7)

      А как решить такое уравнение?

      х + 5 = — 2х – 7 (Слайд 8)

      Упростить мы не можем, т. к. подобные слагаемые находятся в разных частях уравнения, следовательно, необходимо их перенести.

      Горят причудливо краски,
      И как ни мудра голова,
      Вы все-таки верьте в сказки
      Сказка всегда права.

      Давным-давно жили-были 2 короля: черный и белый. Черный король жил в Черном королевстве на правом берегу реки, а Белый король – в Белом на левом берегу. Между королевствами протекала очень бурная и опасная река. Переправиться через эту реку ни вплавь, ни на лодке было невозможно. Нужен был мост! Строительство моста шло очень долго, и вот, наконец, мост построили. Всем бы радоваться и общаться друг с другом, но вот беда: Белый король не любил черный цвет, все жители его королевства носили светлые одежды, а Черный король не любил белый цвет и, жители его королевства носили одежды темного цвета. Если кто-то из Черного королевства переходил в Белое, то сразу попадал в немилость Белого короля, а, если кто-то из Белого королевства переходил в Черное, то попадал в немилость Черного короля. Жителям королевств надо было что-то придумать, чтобы не гневить своих королей. Как вы считаете, что они придумали?

      И вычислении значений выражений действия выполняются в определенной очередности, иными словами, нужно соблюдать порядок выполнения действий .

      В этой статье мы разберемся, какие действия следует выполнять сначала, а какие следом за ними. Начнем с самых простых случаев, когда выражение содержит лишь числа или переменные, соединенные знаками плюс, минус, умножить и разделить. Дальше разъясним, какого порядка выполнения действий следует придерживаться в выражениях со скобками. Наконец, рассмотрим, в какой последовательности выполняются действия в выражениях, содержащих степени, корни и другие функции.

      Навигация по странице.

      Сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание

      В школе дается следующее правило, определяющее порядок выполнения действий в выражениях без скобок :

      • действия выполняются по порядку слева направо,
      • причем сначала выполняется умножение и деление, а затем – сложение и вычитание.

      Озвученное правило воспринимается достаточно естественно. Выполнение действий по порядку слева направо объясняется тем, что у нас принято вести записи слева направо. А то, что умножение и деление выполняется перед сложением и вычитанием объясняется смыслом, который в себе несут эти действия.

      Рассмотрим несколько примеров применения этого правила. Для примеров будем брать простейшие числовые выражения, чтобы не отвлекаться на вычисления, а сосредоточиться именно на порядке выполнения действий.

      Пример.

      Выполните действия 7−3+6 .

      Решение.

      Исходное выражение не содержит скобок, а также оно не содержит умножения и деления. Поэтому нам следует выполнить все действия по порядку слева направо, то есть, сначала мы от 7 отнимаем 3 , получаем 4 , после чего к полученной разности 4 прибавляем 6 , получаем 10 .

      Кратко решение можно записать так: 7−3+6=4+6=10 .

      Ответ:

      7−3+6=10 .

      Пример.

      Укажите порядок выполнения действий в выражении 6:2·8:3 .

      Решение.

      Чтобы ответить на вопрос задачи, обратимся к правилу, указывающему порядок выполнения действий в выражениях без скобок. В исходном выражении содержатся лишь действия умножения и деления, а согласно правилу, их нужно выполнять по порядку слева направо.

      Ответ:

      Сначала 6 делим на 2 , это частное умножаем на 8 , наконец, полученный результат делим на 3.

      Пример.

      Вычислите значение выражения 17−5·6:3−2+4:2 .

      Решение.

      Сначала определим, в каком порядке следует выполнять действия в исходном выражении. Оно содержит и умножение с делением, и сложение с вычитанием. Сначала слева направо нужно выполнить умножение и деление. Так 5 умножаем на 6 , получаем 30 , это число делим на 3 , получаем 10 . Теперь 4 делим на 2 , получаем 2 . Подставляем в исходное выражение вместо 5·6:3 найденное значение 10 , а вместо 4:2 - значение 2 , имеем 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2 .

      В полученном выражении уже нет умножения и деления, поэтому остается по порядку слева направо выполнить оставшиеся действия: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

      Ответ:

      17−5·6:3−2+4:2=7 .

      На первых порах, чтобы не перепутать порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками действий расставить цифры, соответствующие порядку их выполнения. Для предыдущего примера это выглядело бы так: .

      Этого же порядка выполнения действий – сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание - следует придерживаться и при работе с буквенными выражениями.

      Действия первой и второй ступени

      В некоторых учебниках по математике встречается разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени. Разберемся с этим.

      Определение.

      Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление называют действиями второй ступени .

      В этих терминах правило из предыдущего пункта, определяющее порядок выполнения действий, запишется так: если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем – действия первой ступени (сложение и вычитание).

      Порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками

      Выражения часто содержат скобки, указывающие порядок выполнения действий . В этом случае правило, задающее порядок выполнения действий в выражениях со скобками , формулируется так: сначала выполняются действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем – сложение и вычитание.

      Итак, выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения, и в них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий. Рассмотрим решения примеров для большей ясности.

      Пример.

      Выполните указанные действия 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

      Решение.

      Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, заключенных в эти скобки. Начнем с выражения 7−2·3 . В нем нужно сначала выполнить умножение, и только потом вычитание, имеем 7−2·3=7−6=1 . Переходим ко второму выражению в скобках 6−4 . Здесь лишь одно действие – вычитание, выполняем его 6−4=2 .

      Подставляем полученные значения в исходное выражение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2 . В полученном выражении сначала выполняем слева направо умножение и деление, затем – вычитание, получаем 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6 . На этом все действия выполнены, мы придерживались такого порядка их выполнения: 5+(7−2·3)·(6−4):2 .

      Запишем краткое решение: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6 .

      Ответ:

      5+(7−2·3)·(6−4):2=6 .

      Бывает, что выражение содержит скобки в скобках. Этого бояться не стоит, нужно лишь последовательно применять озвученное правило выполнения действий в выражениях со скобками. Покажем решение примера.

      Пример.

      Выполните действия в выражении 4+(3+1+4·(2+3)) .

      Решение.

      Это выражение со скобками, это означает, что выполнение действий нужно начинать с выражения в скобках, то есть, с 3+1+4·(2+3) . Это выражение также содержит скобки, поэтому нужно сначала выполнить действия в них. Сделаем это: 2+3=5 . Подставив найденное значение, получаем 3+1+4·5 . В этом выражении сначала выполняем умножение, затем – сложение, имеем 3+1+4·5=3+1+20=24 . Исходное значение, после подстановки этого значения, принимает вид 4+24 , и остается лишь закончить выполнение действий: 4+24=28 .

      Ответ:

      4+(3+1+4·(2+3))=28 .

      Вообще, когда в выражении присутствуют скобки в скобках, то часто бывает удобно выполнение действий начинать с внутренних скобок и продвигаться к внешним.

      Например, пусть нам нужно выполнить действия в выражении (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Сначала выполняем действия во внутренних скобках, так как 4−6:2=4−3=1 , то после этого исходное выражение примет вид (4+(4+1)−1)−1 . Опять выполняем действие во внутренних скобках, так как 4+1=5 , то приходим к следующему выражению (4+5−1)−1 . Опять выполняем действия в скобках: 4+5−1=8 , при этом приходим к разности 8−1 , которая равна 7 .

      Когда мы работаем с различными выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий. Когда мы делаем преобразование или вычисляем значение, очень важно соблюдать правильную очередность этих действий. Иначе говоря, арифметические действия имеют свой особый порядок выполнения.

      Yandex.RTB R-A-339285-1

      В этой статье мы расскажем, какие действия надо делать в первую очередь, а какие после. Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения. Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует вычислять их. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.

      Определение 1

      В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

      1. Все действия выполняются слева направо.
      2. В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

      Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

      Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.

      Пример 1

      Условие: вычислите, сколько будет 7 − 3 + 6 .

      Решение

      В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

      7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

      Ответ: 7 − 3 + 6 = 10 .

      Пример 2

      Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6: 2 · 8: 3 ?

      Решение

      Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

      Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

      Пример 3

      Условие: подсчитайте, сколько будет 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 .

      Решение

      Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30 , потом 30 разделить на 3 и получить 10 . После этого делим 4 на 2 , это 2 . Подставим найденные значения в исходное выражение:

      17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

      Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

      17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

      Ответ: 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7 .

      Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

      Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

      Что такое действия первой и второй ступени

      Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.

      К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.

      Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

      Определение 2

      В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).

      Порядок вычислений в выражениях со скобками

      Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

      Определение 3

      Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

      Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

      Пример 4

      Условие: вычислите, сколько будет 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 .

      Решение

      В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7 − 2 · 3 . Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7:

      7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1

      Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2 .

      Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

      5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 5 + 1 · 2: 2

      Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

      5 + 1 · 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

      На этом вычисления можно закончить.

      Ответ: 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 6 .

      Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.

      Пример 5

      Условие: вычислите, сколько будет 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) .

      Решение

      У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3 + 1 + 4 · (2 + 3) , а именно с 2 + 3 . Это будет 5 . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3 + 1 + 4 · 5 . Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24 . Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4 + 24 = 28 .

      Ответ: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) = 28 .

      Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

      Допустим, нам надо найти, сколько будет (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1 . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , исходное выражение можно записать как (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4 + 1 = 5 . Мы пришли к выражению (4 + 5 − 1) − 1 . Считаем 4 + 5 − 1 = 8 и в итоге получаем разность 8 - 1 , результатом которой будет 7 .

      Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

      Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.

      Разберем пример такого вычисления.

      Пример 6

      Условие: найдите, сколько будет (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 .

      Решение

      У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 6 2 = 36 . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 .

      (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 = 4 · 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

      Ответ: (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 = 13 .

      В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

      Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

      В этом видео мы разберём целый комплект линейных уравнений, которые решаются по одному и тому же алгоритму — потому и они и называются простейшими.

      Для начала определимся: что такое линейное уравнение и какое их них называть простейшим?

      Линейное уравнение — такое, в котором присутствует лишь одна переменная, причём исключительно в первой степени.

      Под простейшим уравнением подразумевается конструкция:

      Все остальные линейные уравнения сводятся к простейшим с помощью алгоритма:

      1. Раскрыть скобки, если они есть;
      2. Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну сторону от знака равенства, а слагаемые без переменной — в другую;
      3. Привести подобные слагаемые слева и справа от знака равенства;
      4. Разделить полученное уравнение на коэффициент при переменной $x$ .

      Разумеется, этот алгоритм помогает не всегда. Дело в том, что иногда после всех этих махинаций коэффициент при переменной $x$ оказывается равен нулю. В этом случае возможны два варианта:

      1. Уравнение вообще не имеет решений. Например, когда получается что-нибудь в духе $0\cdot x=8$, т.е. слева стоит ноль, а справа — число, отличное от нуля. В видео ниже мы рассмотрим сразу несколько причин, по которым возможна такая ситуация.
      2. Решение — все числа. Единственный случай, когда такое возможно — уравнение свелось к конструкции $0\cdot x=0$. Вполне логично, что какой бы $x$ мы ни подставили, все равно получится «ноль равен нулю», т.е. верное числовое равенство.

      А теперь давайте посмотрим, как всё это работает на примере реальных задач.

      Примеры решения уравнений

      Сегодня мы занимаемся линейными уравнениями, причем только простейшими. Вообще, под линейным уравнением подразумевается всякое равенство, содержащее в себе ровно одну переменную, и она идет лишь в первой степени.

      Решаются такие конструкции примерно одинаково:

      1. Прежде всего необходимо раскрыть скобки, если они есть (как в нашем последнем примере);
      2. Затем свести подобные
      3. Наконец, уединить переменную, т.е. всё, что связано с переменной — слагаемые, в которых она содержится — перенести в одну сторону, а всё, что останется без неё, перенести в другую сторону.

      Затем, как правило, нужно привести подобные с каждой стороны полученного равенства, а после этого останется лишь разделить на коэффициент при «иксе», и мы получим окончательный ответ.

      В теории это выглядит красиво и просто, однако на практике даже опытные ученики старших классов могут допускать обидные ошибки в достаточно простых линейных уравнениях. Обычно ошибки допускаются либо при раскрытии скобок, либо при подсчёте «плюсов» и «минусов».

      Кроме того, бывает так, что линейное уравнение вообще не имеет решений, или так, что решением является вся числовая прямая, т.е. любое число. Эти тонкости мы и разберем в сегодняшнем уроке. Но начнем мы, как вы уже поняли, с самых простых задач.

      Схема решения простейших линейных уравнений

      Для начала давайте я еще раз напишу всю схему решения простейших линейных уравнений:

      1. Раскрываем скобки, если они есть.
      2. Уединяем переменные, т.е. все, что содержит «иксы» переносим в одну сторону, а без «иксов» — в другую.
      3. Приводим подобные слагаемые.
      4. Разделяем все на коэффициент при «иксе».

      Разумеется, эта схема работает не всегда, в ней есть определенные тонкости и хитрости, и сейчас мы с ними и познакомимся.

      Решаем реальные примеры простых линейных уравнений

      Задача №1

      На первом шаге от нас требуется раскрыть скобки. Но их в этом примере нет, поэтому пропускаем данный этап. На втором шаге нам нужно уединить переменные. Обратите внимание: речь идет лишь об отдельных слагаемых. Давайте запишем:

      Приводим подобные слагаемые слева и справа, но тут уже это сделано. Поэтому переходим к четвертому шагу: разделить на коэффициент:

      \[\frac{6x}{6}=-\frac{72}{6}\]

      Вот мы и получили ответ.

      Задача №2

      В этой задаче мы можем наблюдать скобки, поэтому давайте раскроем их:

      И слева и справа мы видим примерно одну и ту же конструкцию, но давайте действовать по алгоритму, т.е. уединяем переменные:

      Приведем подобные:

      При каких корнях это выполняется. Ответ: при любых. Следовательно, можно записать, что $x$ — любое число.

      Задача №3

      Третье линейное уравнение уже интересней:

      \[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

      Тут есть несколько скобок, однако они ни на что не умножаются, просто перед ними стоят различные знаки. Давайте раскроем их:

      Выполняем второй уже известный нам шаг:

      \[-x+x+2x=15-6-12+3\]

      Посчитаем:

      Выполняем последний шаг — делим все на коэффициент при «икс»:

      \[\frac{2x}{x}=\frac{0}{2}\]

      Что необходимо помнить при решении линейных уравнений

      Если отвлечься от слишком простых задач, то я бы хотел сказать следующее:

      • Как я говорил выше, далеко не каждое линейное уравнение имеет решение — иногда корней просто нет;
      • Даже если корни есть, среди них может затесаться ноль — ничего страшного в этом нет.

      Ноль — такое же число, как и остальные, не стоит его как-то дискриминировать или считать, что если у вас получился ноль, то вы что-то сделали неправильно.

      Еще одна особенность связана с раскрытием скобок. Обратите внимание: когда перед ними стоит «минус», то мы его убираем, однако в скобках знаки меняем на противоположные . А дальше мы можем раскрывать ее по стандартным алгоритмам: мы получим то, что видели в выкладках выше.

      Понимание этого простого факта позволит вам не допускать глупые и обидные ошибки в старших классах, когда выполнение подобных действий считается самим собой разумеющимся.

      Решение сложных линейных уравнений

      Перейдем к более сложным уравнениям. Теперь конструкции станут сложнее и при выполнении различных преобразований возникнет квадратичная функция. Однако не стоит этого бояться, потому что если по замыслу автора мы решаем линейное уравнение, то в процессе преобразования все одночлены, содержащие квадратичную функцию, обязательно сократятся.

      Пример №1

      Очевидно, что первым делом нужно раскрыть скобки. Давайте это сделаем очень аккуратно:

      Теперь займемся уединением:

      \[-x+6{{x}^{2}}-6{{x}^{2}}+x=-12\]

      Приводим подобные:

      Очевидно, что у данного уравнения решений нет, поэтому в ответе так и запишем:

      \[\varnothing \]

      или корней нет.

      Пример №2

      Выполняем те же действия. Первый шаг:

      Перенесем все, что с переменной, влево, а без нее — вправо:

      Приводим подобные:

      Очевидно, что данное линейное уравнение не имеет решения, поэтому так и запишем:

      \[\varnothing \],

      либо корней нет.

      Нюансы решения

      Оба уравнения полностью решены. На примере этих двух выражений мы ещё раз убедились, что даже в самых простых линейных уравнениях всё может быть не так просто: корней может быть либо один, либо ни одного, либо бесконечно много. В нашем случае мы рассмотрели два уравнения, в обоих корней просто нет.

      Но я бы хотел обратить ваше внимание на другой факт: как работать со скобками и как их раскрывать, если перед ними стоит знак «минус». Рассмотрим вот это выражение:

      Прежде чем раскрывать, нужно перемножить всё на «икс». Обратите внимание: умножается каждое отдельное слагаемое . Внутри стоит два слагаемых — соответственно, два слагаемых и умножается.

      И только после того, когда эти, казалось бы, элементарные, но очень важные и опасные преобразования выполнены, можно раскрывать скобку с точки зрения того, что после неё стоит знак «минус». Да, да: только сейчас, когда преобразования выполнены, мы вспоминаем, что перед скобками стоит знак «минус», а это значит, что все, что в низ, просто меняет знаки. При этом сами скобки исчезают и, что самое главное, передний «минус» тоже исчезает.

      Точно также мы поступаем и со вторым уравнением:

      Я не случайно обращаю внимание на эти мелкие, казалось бы, незначительные факты. Потому что решение уравнений — это всегда последовательность элементарных преобразований, где неумение чётко и грамотно выполнять простые действия приводит к тому, что ученики старших классов приходят ко мне и вновь учатся решать вот такие простейшие уравнения.

      Разумеется, придёт день, и вы отточите эти навыки до автоматизма. Вам уже не придётся каждый раз выполнять столько преобразований, вы всё будете писать в одну строчку. Но пока вы только учитесь, нужно писать каждое действие отдельно.

      Решение ещё более сложных линейных уравнений

      То, что мы сейчас будем решать, уже сложно назвать простейшими задача, однако смысл остается тем же самым.

      Задача №1

      \[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21{{x}^{2}}=3\]

      Давайте перемножим все элементы в первой части:

      Давайте выполним уединение:

      Приводим подобные:

      Выполняем последний шаг:

      \[\frac{-4x}{4}=\frac{4}{-4}\]

      Вот наш окончательный ответ. И, несмотря на то, что у нас в процессе решения возникали коэффициенты с квадратичной функцией, однако они взаимно уничтожились, что делает уравнение именно линейным, а не квадратным.

      Задача №2

      \[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

      Давайте аккуратно выполним первый шаг: умножаем каждый элемент из первой скобки на каждый элемент из второй. Всего должно получиться четыре новых слагаемых после преобразований:

      А теперь аккуратно выполним умножение в каждом слагаемом:

      Перенесем слагаемые с «иксом» влево, а без — вправо:

      \[-3x-4x+12{{x}^{2}}-12{{x}^{2}}+6x=-1\]

      Приводим подобные слагаемые:

      Мы вновь получили окончательный ответ.

      Нюансы решения

      Важнейшее замечание по поводу этих двух уравнений состоит в следующем: как только мы начинаем умножать скобки, в которых находится более чем оно слагаемое, то выполняется это по следующему правилу: мы берем первое слагаемое из первой и перемножаем с каждым элементом со второй; затем берем второй элемент из первой и аналогично перемножаем с каждым элементом со второй. В итоге у нас получится четыре слагаемых.

      Об алгебраической сумме

      На последнем примере я хотел бы напомнить ученикам, что такое алгебраическая сумма. В классической математике под $1-7$ мы подразумеваем простую конструкцию: из единицы вычитаем семь. В алгебре же мы подразумеваем под этим следующее: к числу «единица» мы прибавляем другое число, а именно «минус семь». Этим алгебраическая сумма отличается от обычной арифметической.

      Как только при выполнении всех преобразований, каждого сложения и умножения вы начнёте видеть конструкции, аналогичные вышеописанным, никаких проблем в алгебре при работе с многочленами и уравнениями у вас просто не будет.

      В заключение давайте рассмотрим ещё пару примеров, которые будут ещё более сложными, чем те, которые мы только что рассмотрели, и для их решения нам придётся несколько расширить наш стандартный алгоритм.

      Решение уравнений с дробью

      Для решения подобных заданий к нашему алгоритму придется добавить еще один шаг. Но для начала я напомню наш алгоритм:

      1. Раскрыть скобки.
      2. Уединить переменные.
      3. Привести подобные.
      4. Разделить на коэффициент.

      Увы, этот прекрасный алгоритм при всей его эффективности оказывается не вполне уместным, когда перед нами дроби. А в том, что мы увидим ниже, у нас и слева, и справа в обоих уравнениях есть дробь.

      Как работать в этом случае? Да всё очень просто! Для этого в алгоритм нужно добавить ещё один шаг, который можно совершить как перед первым действием, так и после него, а именно избавиться от дробей. Таким образом, алгоритм будет следующим:

      1. Избавиться от дробей.
      2. Раскрыть скобки.
      3. Уединить переменные.
      4. Привести подобные.
      5. Разделить на коэффициент.

      Что значит «избавиться от дробей»? И почему выполнять это можно как после, так и перед первым стандартным шагом? На самом деле в нашем случае все дроби являются числовыми по знаменателю, т.е. везде в знаменателе стоит просто число. Следовательно, если мы обе части уравнения домножим на это число, то мы избавимся от дробей.

      Пример №1

      \[\frac{\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)}{4}={{x}^{2}}-1\]

      Давайте избавимся от дробей в этом уравнении:

      \[\frac{\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4}{4}=\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot 4\]

      Обратите внимание: на «четыре» умножается все один раз, т.е. если у вас две скобки, это не значит, что каждую из них нужно умножать на «четыре». Запишем:

      \[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot 4\]

      Теперь раскроем:

      Выполняем уединение переменной:

      Выполняем приведение подобных слагаемых:

      \[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

      \[\frac{-4x}{-4}=\frac{-1}{-4}\]

      Мы получили окончательное решение, переходим ко второму уравнению.

      Пример №2

      \[\frac{\left(1-x \right)\left(1+5x \right)}{5}+{{x}^{2}}=1\]

      Здесь выполняем все те же действия:

      \[\frac{\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5}{5}+{{x}^{2}}\cdot 5=5\]

      \[\frac{4x}{4}=\frac{4}{4}\]

      Задача решена.

      Вот, собственно, и всё, что я хотел сегодня рассказать.

      Ключевые моменты

      Ключевые выводы следующие:

      • Знать алгоритм решения линейных уравнений.
      • Умение раскрывать скобки.
      • Не стоит переживать, если где-то у вас появляются квадратичные функции, скорее всего, в процессе дальнейших преобразований они сократятся.
      • Корни в линейных уравнениях, даже самых простых, бывают трех типов: один единственный корень, вся числовая прямая является корнем, корней нет вообще.

      Надеюсь, этот урок поможет вам освоить несложную, но очень важную для дальнейшего понимания всей математики тему. Если что-то непонятно, заходите на сайт, решайте примеры, представленные там. Оставайтесь с нами, вас ждет еще много интересного!

    Рассказать друзьям